Question

【題目】我們定義：有一組對角相等而另一組對角不相等的凸四邊形叫做“等對角四邊形”.

（1）已知：如圖，四邊形ABCD是“等對角四邊形”， ,則∠C= ;

（2）已知：在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=4 , AD=3.求對角線AC的長；

（3）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形ABCD是“等對角四邊形”，其中,點(diǎn)D在y軸上，拋物線過點(diǎn)A、C,點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)滿足的P點(diǎn)至少有3個時,總有不等式成立，求n 的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）115°；（2）或；（3）

【解析】

（1）根據(jù)“等對角四邊形”的概念即可求解；

（2）分兩種情況：①當(dāng)∠B=∠D=90°時延長AD,BC交于點(diǎn)E，先用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出BE， DE，再用三角函數(shù)求出CE，即可得到BC，由勾股定理求出AC；②當(dāng)∠A=∠C=60°時,過D分別作DE⊥AB于E,DF⊥BC于點(diǎn)F，先用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出DE，CF，得到BC，由勾股定理求出AC；

（3）根據(jù)題意求出D（0,2），設(shè)拋物線解析式為，，以D（0,2）為圓心，AD長為半徑作⊙D，以D’（0，-2）為圓心，AD長為半徑作⊙D’，如圖所示,⊙D交y軸正半軸于點(diǎn)E,⊙D’交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AEC和優(yōu)弧AFC上時，當(dāng)拋物線過E點(diǎn)時滿足題意的P點(diǎn)有3個，，當(dāng)滿足的P點(diǎn)至少有3個時，依次求解即可.

解：（1）由題意可得：∠B=∠D=85°，則∠C=360°-85°×2-75°=115°；

（2）①如圖，∠B=∠D=90°時延長AD,BC交于點(diǎn)E

∵∠DAB=60°

∴∠E=30°

又 ∵AB=4,AD=3

∴

∴

∴

∴

②如圖，∠A=∠C=60°時,過D分別作DE⊥AB于E,DF⊥BC于點(diǎn)F

∵∠DAB=∠BCD=60°

又 ∵AB=4,AD=3

∴

∴

∴

∴

綜上，

（3）∵

∴

∴

∴∠ABC=90°

∵ ,

∴

∵四邊形ABCD是“等對角四邊形”

∴

∴D（0,2）

∵拋物線過點(diǎn)A、C,

∴

∴，

以D（0,2）為圓心，AD長為半徑作⊙D，以D’（0，-2）為圓心，AD長為半徑作⊙D’，如圖所示,⊙D交y軸正半軸于點(diǎn)E,⊙D’交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AEC和優(yōu)弧AFC上時，當(dāng)拋物線過E點(diǎn)時滿足題意的P點(diǎn)有3個，

此時，

當(dāng)滿足的P點(diǎn)至少有3個時，

當(dāng)時，

∵總有不等式成立

∴

∴