Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=AC=2，∠B=30°，點D在BC上，過點D作DE⊥BC，交BA或其延長線于點E，過點E作EF⊥BA交AC或其延長線于點F，連接DF．若DF⊥AC，則BD=_____．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：作AH⊥BC于H，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠C=∠B=30°，BH=CH，再利用三角形外角性質(zhì)得∠EAF=2∠B=60°，根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關系得AH=AB=1，BH=AH=，所以BC=2BH=2，同樣可得AF=2AE，DF=CD，CF=DF=CD，設BD=x，則CD=2-x，在Rt△BDE中，根據(jù)含30度角的直角三角形三邊的關系得DE=BD=x，AE=2DE=x，則AE=BE-AB=x-2，然后利用x表示出AF=x-4，CF=（2-x），最后利用AF+CF=AC列方程求解．

詳解：作AH⊥BC于H，如圖，

∵AB=AC=2，

∴∠C=∠B=30°，BH=CH，

∴∠EAF=2∠B=60°，AH=AB=1，BH=AH=，

∴BC=2BH=2，

∵EF⊥AB，DF⊥AC，

∴∠AEF=90°，∠DFC=90°，

∴AF=2AE，DF=CD，CF=DF=CD，

設BD=x，則CD=2-x，

在Rt△BDE中，DE=BD=x，

∴BE=2DE=x，

∴AE=BE-AB=x-2，

∴AF=x-4，CF=（2-x），

∵AF+CF=AC，

∴x-4+（2-x）=2，

解得x=，

即BD的長為．