Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，x 軸上有兩點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點(diǎn)E 是AD邊的中點(diǎn)，F(xiàn) 是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接EF，過點(diǎn)E作EG⊥EF，交BC所在的直線與點(diǎn)G，連接FG．
（1）當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，易得

EF

EG

=

1

2

；若點(diǎn)F與點(diǎn)A不重合時(shí)，試問

EF

EG

的值是否改變？直接寫出正確判斷；
（2）設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x（-2＜x＜2），△FBG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；
（3）當(dāng)點(diǎn)F在 x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，判斷有幾個(gè)位置能夠使得以點(diǎn)G為頂點(diǎn)三角形和以點(diǎn)B、F、G為頂點(diǎn)的三角形全等？直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）利用△EHG∽△EAF，得出相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比，即可得出答案；
（2）首先證明△EAF∽△EHG，再表示出△FBG的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可；
（3）根據(jù)全等三角形的判定即可得出．

解答：解：（1）

EF

EG

=

1

2

仍然成立．
證明：
過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴

AF

HG

=

EA

EH

=

EF

EG

=

1

2

．

（2）過點(diǎn)E作EH⊥BC于點(diǎn)H．
∴EH⊥AE．
∴∠GEH+∠FEH=∠AEF+∠FEH=90°，
∴∠GEH=∠AEF．而∠EAF=∠EHG=90°，
∴△EAF∽△EHG．
∴

AF

HG

=

EA

EH

=

EF

EG

=

1

2

．
∵AF=x-（-2）=x+2，
∴HG=2（x+2）=2x+4．
∴BG=BH+HG=2+2x+4=2x+6．
∵BF=2-x．
∴△FBG的面積：S=

1

2

BF×BG=

1

2

（2-x）（2x+6）．
即S=-(x+

1

2

)2+

25

4

．
∴當(dāng)x=-

1

2

時(shí)，S的最大值為

25

4

．

（3）滿足要求的點(diǎn)F共有三個(gè)位置，
如圖1：當(dāng)F與A重合時(shí)，△EFG≌△BGF，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-2，0）；
如圖2：∵△EGF≌△BFG時(shí)，EF=FB，
設(shè)AF=x，則EF=BF=4-x，
在Rt△EAF中，EF²=AE²+AF²，
∴（4-x）²=x²+4，
解得：x=

3

2

，
∴OF=OA-AF=2-

3

2

=

1

2

，
∴此時(shí)F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

1

2

，0）；
如圖3：設(shè)AF=x，
則EG=BF=4+x，EF=

x2+4

，GH=2+EF，
∵EG²=EH²+GH²，
∴x=

8

3

，
∴OF=

14

3

，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-

14

3

，0）．
EH=4，即F₁（-2，0），F2(-

1

2

，0)，F3(-

14

3

，0)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定和二次函數(shù)的最值問題以及全等三角形的判定等知識(shí)，題目綜合性較強(qiáng)，中考中對(duì)于最值問題與相似三角形的考查較多，同學(xué)們應(yīng)學(xué)會(huì)應(yīng)用知識(shí)解決問題．