Question

如圖，直線(xiàn)y₁=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（5，3），且分別與已知直線(xiàn)y₂=3x交于點(diǎn)A、與x軸交于點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m（m＞1且m≠5）．
（1）用含m的代數(shù)式表示k；
（2）寫(xiě)出△AOB的面積S關(guān)于m的函數(shù)解析式；
（3）在直線(xiàn)y₂=3x上是否存在點(diǎn)A，使得△AOB面積最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得A點(diǎn)坐標(biāo)，由斜率定義得斜率k；
（2）將P點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得到m，再另y=o，得到點(diǎn)B坐標(biāo)，然后可得到面積函數(shù)；
（3）由函數(shù)性質(zhì)可得答案．

解答：解：（1）由題意得，A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，3m），
由斜率定義得，k=

3m-3

m-5

．

（2）所以y₁=

3m-3

m-5

x+b，
將P（5，3）代入直線(xiàn)方程解得，b=

-12m

m-5

，
令y₁=0得，x=

12m

3m-3

，
S_AOB=

1

2

•

12m

3m-3

•3m．

（3）由（2）得，S_AOB=

6m2

m-1

，當(dāng)m趨近于無(wú)窮大時(shí)，有最小值6．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中上