Question

如圖（1），點(diǎn)M，N分別在等邊三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點(diǎn)Q．
（1）求證：∠BQM=60°；
（2）如圖（2），若將題中的點(diǎn)M，N分別移動(dòng)到BC，CA的延長線上，其它條件不變，∠BQM=60°還成立嗎？（不需證明）
（3）如圖（3），若將題中的條件“點(diǎn)M，N分別在等邊三角形ABC的BC，CA邊上”改為“點(diǎn)M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，其它條件不變，∠BQM=60°還成立嗎？若成立，請(qǐng)說明理由，若不成立，請(qǐng)寫出∠BQM的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，…（1分）
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

∴△ABM≌△BCN（SAS），…（3分）
∴∠BAM=∠CBN，…（4分）
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°；…（5分）

（2）∠BQM=60°還成立．…（7分）理由如下：
∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BMA=∠CNB，
∴∠BQM=∠CNB+∠QAN=∠BMA+∠CAM=∠ACB=60°；

（3）∠BQM=60°不成立，∠BQM=90°．理由如下：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°．