Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D，拋物線的對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)M．

（1）當(dāng)四邊形CODM是菱形時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P為直線OD上一動(dòng)點(diǎn)，求△APB的面積；

（3）作點(diǎn)B關(guān)于直線MD的對(duì)稱點(diǎn)B'，以點(diǎn)M為圓心，MD為半徑作⊙M，點(diǎn)Q是⊙M上一動(dòng)點(diǎn)，求QB'+QB的最小值．

Answer 1

【答案】（1）D（，）；（2）3；（3）．

【解析】

（1）求出D（m，m），C（0，2），根據(jù)菱形的性質(zhì)可得OD=OC=2=m，求出m＝，則D點(diǎn)坐標(biāo)可求出；

（2）聯(lián)立直線與拋物線求出交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)AB∥OD求出兩平行線間的距離，最后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；

（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)求出AM、BM的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得到⊙M的半徑為2，取MB的中點(diǎn)N，連接QB、QN、QB′，然后利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例夾角相等兩三角形相似求出△MNQ和△MQB相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊判斷出Q、N、B′三點(diǎn)共線時(shí)QB’+最小，然后根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解：（1）∵拋物線y=x2﹣2mx+m2+m=（x-m）2+m，直線y=x+2，

∴D（m，m），C（0，2），

∴OD=m，

∵四邊形CODM為菱形，

∴OD=OC=2=m，

∴m=，

∴D（）；

（2）∵y=x+2與拋物線y=x2﹣2mx+m2+m交于A、B兩點(diǎn)，

∴聯(lián)立，

解得：，，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AB==3，

∵D（m，m），

∴直線OD的解析式為y=x，

∵直線AB的解析式為y=x+2，

∴AB∥OD，

如圖，作CE⊥OD于E，則∠COE＝45°，

∴直線AB、OD之間的距離CE=×2=，

∴S△APB=ABCE=×3×=3；

（3）∵拋物線對(duì)稱軸為x=m，當(dāng)x=m時(shí)，y=x+2=m+2，

∴M（m，m+2），

又∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），

∴AM=1×=，BM=2×=2，

∵D（m，m），

∴以MD為半徑的圓的半徑為 （m+2）﹣m=2，

取MB的中點(diǎn)N，連接QB、QN、QB'，

∴MN=BN=，

∵，∠QMN=∠BMQ，

∴△MNQ∽△MQB，

∴，

∴，

∴當(dāng)Q、N、B'三點(diǎn)共線時(shí)QB'+QB最小，

∵直線AB的解析式為y=x+2，

∴直線AB與對(duì)稱軸夾角為45°，

∵點(diǎn)B、B'關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴∠BMB'=90°，

由勾股定理得：QB'+QB的最小值為B'N==，即QB'+QB的最小值是．