Question

【題目】如圖，△ABC中，AB=4，BC=3，以C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑的圓和AC交于點(diǎn)D，連接BD，若∠ABD=∠C．

（1）求證：AB是⊙C的切線；

（2）求△DAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由CB=CD得∠CBD=∠CDB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠C=180°﹣2∠CBD，由于∠ABD=∠C，則2∠ABD=180°﹣2∠CBD，即可得到∠ABD+∠CBD=90°，于是可根據(jù)切線的判定得到AB是⊙C的切線；

（2）作BE⊥AC于E，如圖，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=5，則AD=AC﹣CD=2，再利用面積法計(jì)算出BE=，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

（1）證明：∵CB=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

∴∠C=180°﹣2∠CBD，

∵∠ABD=∠C，

∴2∠ABD=180°﹣2∠CBD，

∴∠ABD+∠CBD=90°，即∠ABC=90°，

∴AB⊥BC，

∴AB是⊙C的切線

（2）解：作BE⊥AC于E，如圖，

在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=3，

∴AC==5，

∴AD=AC﹣CD=5﹣3=2，

∵BEAC=BCAB，

∴BE=，

∴△DAB的面積=×2×=．