Question

（2013•濟(jì)南）如圖1，拋物線y=-

2

3

x²+bx+c與x軸相交于點(diǎn)A，C，與y軸相交于點(diǎn)B，連接AB，BC，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），tan∠BAO=2，以線段BC為直徑作⊙M交AB與點(diǎn)D，過點(diǎn)B作直線l∥AC，與拋物線和⊙M的另一個(gè)交點(diǎn)分別是E，F(xiàn)．
（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)和線段EF的長(zhǎng)；
（3）如圖2，連接CD并延長(zhǎng)，交直線l于點(diǎn)N，點(diǎn)P，Q為射線NB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，且不與N重合），線段PQ與EF的長(zhǎng)度相等，連接DP，CQ，四邊形CDPQ的周長(zhǎng)是否有最小值？若有，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)并直接寫出四邊形CDPQ周長(zhǎng)的最小值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)和tan∠BAO=2求得AO=2，BO=4，從而求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式即可．
（2）首先根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸求得點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，4），從而求得BE的長(zhǎng)，得到EF的長(zhǎng)即可；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D₁（1，6），點(diǎn)C向右平移2個(gè)單位得到C₁（-1，0），連接C₁D₁與直線l交于點(diǎn)P，點(diǎn)P向左平移兩個(gè)單位得到點(diǎn)Q，四邊形CDPQ即為周長(zhǎng)最小的四邊形．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（2，0），tan∠BAO=2，
∴AO=2，BO=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．
∵拋物線y=-

2

3

x²+bx+c過點(diǎn)A，B，
∴

- 8 3 +2b+c=0 c=4

，
解得

b=- 2 3 c=4

，
∴此拋物線的解析式為y=-

2

3

x²-

2

3

x+4．

（2）∵拋物線對(duì)稱軸為直線x=-

1

2

，
∴點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），
點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，4），
∵BC是⊙M的直徑，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

3

2

，2），
如圖2，過點(diǎn)M作MG⊥FB，則GB=GF，
∵M(jìn)（-

3

2

，2），
∴BG=

3

2

，
∴BF=2BG=3，
∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-1，4），
∴BE=1，
∴EF=BF-BE=3-1=2．

（3）四邊形CDPQ的周長(zhǎng)有最小值．
理由如下：∵BC=

OC2+OB2

=

32+42

=5，AC=CO+OA=3+2=5，
∴AC=BC，
∵BC為⊙M直徑，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∴D為AB中點(diǎn)，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2）．
作點(diǎn)D關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)D₁（1，6），點(diǎn)C向右平移2個(gè)單位得到C₁（-1，0），連接C₁D₁與直線l交于點(diǎn)P，點(diǎn)P向左平移兩個(gè)單位得到點(diǎn)Q，四邊形CDPQ即為周長(zhǎng)最小的四邊形．
設(shè)直線C₁D₁的函數(shù)表達(dá)式為y=mx+n（m≠0），
∴

-m+n=0 m+n=6

，

m=3 n=3

，
∴直線C₁D₁的表達(dá)式為y=3x+3，
∵y_p=4，
∴x_p=

1

3

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

1

3

，4）；
C_{四邊形CDPQ最小}=2

5

+2

10

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，特別是題目中求根據(jù)對(duì)稱軸求某點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)更是中考的熱點(diǎn)考題之一，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練．