Question

（2013•濟(jì)南）如圖1，在△ABC中，AB=AC=4，∠ABC=67.5°，△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對(duì)稱，點(diǎn)M為邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（重合），點(diǎn)M關(guān)于AB所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，△CMN的面積為S．
（1）求∠CAD的度數(shù)；
（2）設(shè)CM=x，求S與x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)S的值最大？
（3）S的值最大時(shí)，過點(diǎn)C作EC⊥AC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接EN（如圖2），P為線段EN上一點(diǎn)，Q為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以M，N，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件NP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出∠CAB，根據(jù)軸對(duì)稱求出∠DAB即可；
（2）求出AN=AM=4-x，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（3）根據(jù)勾股定理求出MN，MO、NO，EA，EN，分為三種情況：①當(dāng)以MN為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)P在E上，此時(shí)NP=NE，②以MN為一邊時(shí)，以N為圓心，以MN為半徑畫弧交NE于P，此時(shí)MN=NP；③以MN為一邊時(shí)，過M作MZ⊥NE于Z，則PZ=NZ，證△ENO∽△MNZ，求出ZN=

2

5

5

，得出NP=2ZN．

解答：解：（1）∵AB=AC，∠ABC=67.5°，
∴∠ACB=∠ABC=67.5°，
∴∠CAB=180°-67.5°-67.5°=45°，
∵△ABD和△ABC關(guān)于AB所在的直線對(duì)稱，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠CAD=45°+45°=90°．

（2）由（1）知：AN⊥AM，
∵點(diǎn)M、N關(guān)于AB所在直線對(duì)稱，
∴AM=AN，
∵CM=x，
∴AN=AM=4-x，
∴S=

1

2

×CM×AN=

1

2

x（4-x），
∴S=-

1

2

x²+2x，
∴當(dāng)x=-

2

2×(- 1 2 )

=2時(shí)，S有最大值．

（3）∵CE⊥AC，
∴∠ECA=90°，
∵∠CAB=45°，
∴∠CEA=∠EAC=45°，
∴CE=AC=4，
在Rt△ECA中，AC=EC=4，由勾股定理得：EA=

42+42

=4

2

，
∵AM=AN，∠CAB=∠DAB，
∴AO⊥MN，MO=NO，
在Rt△MAN中，AM=AN=4-2=2，由勾股定理得：MN=

22+22

=2

2

，
∴MO=NO=

2

，
由勾股定理得：AO=

22-( 2 )2

=

2

，
∴EO=4

2

-

2

=3

2

，
在Rt△EON中，EO=3

2

，MO=

2

，由勾股定理得：EM=

(3 2 )2+( 2 )2

=2

5

，
分為三種情況：①當(dāng)以MN為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)P在E上，即NP=NE=2

5

；

②以MN為一邊時(shí)，以N為圓心，以MN為半徑畫弧交NE于P，

此時(shí)NP=MN=2

2

；
③以MN為一邊時(shí)，

過M作MZ⊥NE于Z，則PZ=NZ，
∵AO⊥MN，
∴∠EON=∠MZN=90°，
∵∠ENO=∠MNZ，
∴△ENO∽△MNZ，
∴

EN

MN

=

NO

ZN

，
∴

2 5

2 2

=

2

ZN

，
∴ZN=

2

5

5

，
∴NP=2ZN=

4

5

5

，
即所有滿足條件NP的長(zhǎng)是2

5

或2

2

或

4

5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．