Question

（2012•南平）在平面直角坐標系中，矩形OABC如圖所示放置，點A在x軸上，點B的坐標為（m，1）（m＞0），將此矩形繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形OA′B′C′．
（1）寫出點A、A′、C′的坐標；
（2）設(shè)過點A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，求此拋物線的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示）
（3）試探究：當m的值改變時，點B關(guān)于點O的對稱點D是否可能落在（2）中的拋物線上？若能，求出此時m的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)四邊形ABCD是矩形，點B的坐標為（m，1）（m＞0），求出點A、C的坐標，再根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出A′、C′的坐標即可；
（2）設(shè)過點A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，把A、A′、C′三點的坐標代入即可得出abc的值，進而得出其拋物線的解析式；
（3）根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標特點用m表示出D點坐標，把D點坐標代入拋物線的解析式看是否符合即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCO是矩形，點B的坐標為（m，1）（m＞0），
∴A（m，0），C（0，1），
∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋轉(zhuǎn)而成，
∴A′（0，m），C′（-1，0）；

（2）設(shè)過點A、A′、C′的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），
∴

am2+bm+c=0 c=m a-b+c=0

，解得

a=-1 b=m-1 c=m

，
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+（m-1）x+m；

（3）存在．
∵點B與點D關(guān)于原點對稱，B（m，1），
∴點D的坐標為：（-m，-1），
∵拋物線的解析式為：y=-x²+（m-1）x+m；
假設(shè)點D（-m，-1）在（2）中的拋物線上，
則y=-（-m）²+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m²+2m+1=0，
∵△=2²-4×（-2）×1=12＞0，
∴此點在拋物線上，解得m=

1+ 3

2

或m=

1- 3

2

（舍去）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，此題涉及到圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)不變性的性質(zhì)求出A′、C′的坐標是解答此題的關(guān)鍵．