Question

（2013•蘿崗區(qū)一模）如圖1，四邊形ABHC，ADEF都是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G，設(shè)BG交AC于點(diǎn)M．
①求證：BD⊥CF；
②當(dāng)AB=4，AD=

2

時(shí)，求線(xiàn)段BG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，求出∠BAD=∠CAF，根據(jù)SAS證出B≌△FAC即可．
（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠FCA=∠DBA，求出∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=90°，求出∠CGM的度數(shù)即可．
②過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，求出FN=AN=

1

2

AE=1，AE=2，連接BC，求出CN=3，BC=4

2

，根據(jù)tan∠ABM=tan∠FCN=

1

3

求出AM=

1

3

AB=

4

3

，求出BM，求出CM，證△BMA∽△CMG，得出

BM

AB

=

CM

CG

，求出CG，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：解：（1）BD=CF成立，
理由是：∵四邊形ABHC和四邊形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB和△FAC中

AB=AC ∠DAB=∠FAC AD=AF

∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴BD=CF．

（2）①證明：∵△DAB≌△FAC，
∴∠FCA=∠DBA，
∵∠CMG=∠BMA，∠CAB=90°，
∴∠CMG+∠FCA=∠DBA+∠BMA=180°-∠CAB=90°，
∴在△CGM中，∠CGM=180°-90°=90°，
∴BD⊥CF．

②解：過(guò)點(diǎn)F作FN⊥AC于點(diǎn)N，
∵在正方形ADEF中，AD=

2

=AF，∠DAB=45°，
∴∠DAC=45°，∠FAN=45°，
∵FN⊥AC，
∴∠FNA=90°，
∴∠NFA=45°=∠FAN，
∴FN=AN，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF=EF=

2

，∠EFA=90°，
∴由勾股定理得：AE=2，
∴FN=AN=1，
連接BC，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，
則CN=4-1=3，BC=

AC2+AB2

=4

2

，
即在Rt△FCN中，tan∠FCN=

FN

CN

=

1

3

，
在Rt△ABM中，tan∠ABM=tan∠FCN=

1

3

，
∴AM=

1

3

AB=

4

3

，
在Rt△BAM中，由勾股定理得：BM=

AB2+AM2

=

42+( 4 3 )2

=

4 10

3

，
CM=AC-AM=4-

4

3

=

8

3

，
∵∠CMG=∠BMA，∠FCA=∠DBA，
∴△BMA∽△CMG，
∴

BM

AB

=

CM

CG

，
∴

4 10 3

4

=

8 3

CG

，
∴CG=

4 10

5

，
在Rt△BGC中，BG=

BC2-CG2

=

8 10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力．