Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)在的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)與關(guān)于拋物線的對稱軸對稱．

(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)的面積是8，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)過直線下方的拋物線上一點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，試用含的式子表示的長及△ADM的面積，并求當(dāng)的長最大時(shí)的值．

Answer 1

【答案】【解析】（1）y=（x-1）2-4， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-3）；(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或(1,-4)；（3）當(dāng),，當(dāng)MN的長最大時(shí)S的值為.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出n值，進(jìn)而可得出拋物線的解析式，由拋物線的解析式利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出拋物線的對稱軸，結(jié)合點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)及AB的長，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），由三角形的面積公式結(jié)合△ABP的面積是8，可求出b值，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)點(diǎn)A，D的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法可求出直線AD的解析式，由點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m可得出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出MN的長，結(jié)合S=S△AMN+S△DMN可用含m的式子表示△ADM的面積S，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題．

解：（1）把C（0，-3）代入y=（x-1）2+n，得，-3=（0-1）2+n，

解得n=-4，∴拋物線的解析式為y=（x-1）2-4，

∴拋物線的對稱軸為直線x=1∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，-3）．

（2）當(dāng)y=0時(shí)，（x-1）2-4=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），AB=3-（-1）=4．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b），
∵△ABP的面積是8，
∴AB|b|=8，即

×4|b|=8，
∴b=±4．
當(dāng)b=4時(shí)，（a-1）2-4=4，解得：a1=1-2，a2=1+2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1-2，4）或（1+2，4）；
當(dāng)b=-4時(shí)，（a-1）2-4=-4，解得：a3=a4=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-4）．
∴當(dāng)△ABP的面積是8，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1-2，4）或（1+2，4）或（1，-4）．

（3）設(shè)直線AD的解析式為y=kx+c（k≠0），
將A（-1，0），D（2，-3）代入y=kx+c，得：

，
解得：，
∴直線AD的解析式為y=-x-1．
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是m（-1＜m＜2），
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，（m-1）2-4），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，-m-1），
∴MN=-m-1-[（m-1）2-4]=-m2+m+2（-1＜m＜2），S=S△AMN+S△DMN=MN（m+1）+MN（2-m）=mn=-m2+m+3（-1＜m＜2）．
∵MN=-m2+m+2=-（m-）2+，-1＜0，
∴當(dāng)m=時(shí)，MN取得最大值，最大值為，此時(shí)S的值為×=，
∴當(dāng)MN的長最大時(shí)S的值為．