Question

如圖所示，過線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線AM、BN，使AM∥BN，∠MAB和∠NBA的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作一直線垂直于AM，垂足為點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C．
（1）觀察DE、EC，你有什么發(fā)現(xiàn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論；
（2）請(qǐng)你再研究AD+BC與AB的關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

解：（1）過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，
∵AM∥BN，CD⊥AM，
∴CD⊥BN，
∵AE是∠MAB的平分線，
∴DE=EF，
同理可得EC=EF，
∴DE=EC；

（2）在△ADE和△AFE中，，
∴△ADE≌△AFE（HL），
∴AD=AF，
同理可得BC=BF，
∵AB=AF+BF，
∴AD+BC=AB．
分析：（1）過點(diǎn)E作EF⊥AB于F，先求出CD⊥BN，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE=EF，EC=EF，從而得證；
（2）利用“HL”證明△ADE和△AFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=AF，同理可得BC=BF，再根據(jù)AB=AF+BF證明即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．