Question

已知在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，1），將線段OA繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到OB．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、O三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸?的對(duì)稱點(diǎn)為C，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）本題可通過構(gòu)建全等三角形來求解．過點(diǎn)A作AH⊥x軸，過點(diǎn)B作BM⊥y軸，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OA=OB，而∠MOB與∠AOH都是∠AOM的余角，因此兩角相等，因此這兩個(gè)直角三角形就全等，那么OH=OM，AH=BM，由此可得出B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）根據(jù)求出的B點(diǎn)坐標(biāo)以及已知的A、O的坐標(biāo)即可用待定系數(shù)法求拋物線的解析式．
（3）先根據(jù)拋物線的解析式求出拋物線的對(duì)稱軸及C點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出BC的長，求三角形ABC的面積時(shí)，可以BC為底，以A、B縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高來求解．

解答：解：（1）過點(diǎn)A作AH⊥x軸，過點(diǎn)B作BM⊥y軸，
由題意得OA=OB，∠AOH=∠BOM，
∴△AOH≌△BOM
∵A的坐標(biāo)是（-3，1），
∴AH=BM=1，OH=OM=3
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3）

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c
則

a+b+c=3 9a-3b+c=1 c=0

．
得

a= 5 6 b= 13 6 c=0

∴拋物線的解析式為y=

5

6

x²+

13

6

x

（3）對(duì)稱軸為x=-

13

10

∴C的坐標(biāo)為（-

18

5

，3）
∴S_△ABC=

1

2

BC•h_BC=

1

2

×（1+

18

5

）×2=

23

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識(shí)．