Question

已知O為直線(xiàn)AB上的一點(diǎn)，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）如圖1，若∠COF=34°，則∠BOE=

 

；若∠COF=n°，則∠BOE=

 

；∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（2）當(dāng)射線(xiàn)OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，（1）中∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？如成立請(qǐng)寫(xiě)出關(guān)系式；如不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在圖3中，若∠COF=65°，在∠BOE的內(nèi)部是否存在一條射線(xiàn)OD，使得2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半？若存在，請(qǐng)求出∠BOD的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)∠COF=n°，根據(jù)弧余得到∠EOF=90°-n°，再由OF平分∠AOE，得到∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，所以有∠BOE=2∠COF．并且當(dāng)n=34°時(shí)，可求出對(duì)應(yīng)的∠BOE；
（2）和（1）推論得方法一樣，可得到∠BOE=2∠COF．
（3）由前面的結(jié)論，當(dāng)∠COF=65°，得到∠BOE=2×65°=130°，并且∠EOF=∠AOF=90°-65°=25°，再根據(jù)2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半，可得到關(guān)于∠BOE的方程，解方程得到∠BOD=16°，因此在∠BOE的內(nèi)部存在一條射線(xiàn)OD，滿(mǎn)足條件．

解答：解：（1）∵∠COE是直角，∠COF=34°，
∴∠EOF=90°-34°=56°，
由∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=112°，
∴∠BOE=180°-112°=68°；
當(dāng)∠COF=n°，
∴∠EOF=90°-n°，
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，
所以有∠BOE=2∠COF．
故答案為：68°，2n°，∠BOE=2∠COF；

（2）∠BOE與∠COF的數(shù)量關(guān)系仍然成立．理由如下：
設(shè)∠COF=n°，如圖2，
∵∠COE是直角，
∴∠EOF=90°-n°，
又∵OF平分∠AOE．
∴∠AOE=2∠EOF=180°-2n°，
∴∠BOE=180°-（180°-2n°）=2n°，
即∠BOE=2∠COF；

（3）存在．理由如下：
如圖3，∵∠COF=65°，
∴∠BOE=2×65°=130°，
∠EOF=∠AOF=90°-65°=25°，
而2∠BOD與∠AOF的和等于∠BOE與∠BOD的差的一半，
∴2∠BOD+25°=

1

2

（130°-∠BOD），
∴∠BOD=16°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；也考查了角平分線(xiàn)的定義以及互余互補(bǔ)的含義．