Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn)．
（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)E使△CDE的周長(zhǎng)取得最小值？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于C、D是定點(diǎn)，則CD是定值，如果△CDE的周長(zhǎng)最小，即DE+CE有最小值．為此，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD′上時(shí)，△CDE的周長(zhǎng)最�。�
（2）由于DC、EF的長(zhǎng)為定值，如果四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小，即DE+FC有最小值．為此，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，在CB邊上截取CG=2，當(dāng)點(diǎn)E在線段D′G上時(shí)，四邊形CDEF的周長(zhǎng)最�。�

解答：解：（1）如圖，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，連接CD'與x軸交于點(diǎn)E，連接DE．（1分）
若在邊OA上任取點(diǎn)E'（與點(diǎn)E不重合），連接CE'、DE'、D'E'．
由DE'+CE'=D'E'+CE'＞CD'=D'E+CE=DE+CE，（3分）
可知△CDE的周長(zhǎng)最�。�
∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點(diǎn)，
∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6．
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽R(shí)t△D'BC，（4分）
有

OE

BC

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BC

D′B

=

2×3

6

=1（5分）
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）（6分）

（2）如圖，
作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D'，在CB邊上截取CG=2，連接D'G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截取EF=2（7分）
∵GC∥EF，GC=EF，
∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF．
又DC、EF的長(zhǎng)為定值，
∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最�。�8分）
∵OE∥BC，
∴Rt△D'OE∽R(shí)t△D'BG，有

OE

BG

=

D′O

D′B

．
∴OE=

D′O•BG

D′B

=

D′O•(BC-CG)

D′B

=

2×1

6

=

1

3

（9分）
∴OF=OE+EF=

1

3

+2=

7

3

．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

1

3

，0），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

7

3

，0）（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查軸對(duì)稱(chēng)--最短路線問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題，一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，將求折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段問(wèn)題，其說(shuō)明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊．