Question

已知二次函數(shù)y=mx2-(3m+

4

3

)x+4．
（1）請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷：函數(shù)y=mx2-(3m+

4

3

)x+4的圖象與x軸是否有交點(diǎn)？
（2）設(shè)函數(shù)y=mx2-(3m+

4

3

)x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，請(qǐng)求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)（可用含m的代數(shù)式表示）．
（3）在（2）的條件下，若△ABC是等腰三角形，求二次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式的判別式進(jìn)行判斷；
（2）分別令y=0，x=0，可求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)①AB=AC，B點(diǎn)在A點(diǎn)左邊，②AB=AC，B點(diǎn)在A點(diǎn)右邊，③當(dāng)AC=BC時(shí)，④B在AC的垂直平分線上，四種情況分別求B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式求m的值，確定拋物線解析式．

解答：解：（1）∵△=（3m+

4

3

）²-16m=（3m-

4

3

）²≥0，
∴拋物線與x軸有交點(diǎn)；

（2）令y=0，得mx²-（3m+

4

3

）x+4=0，解得x=3或

4

3m

，
令x=0，得y=4，
∴A（3，0），B（

4

3m

，0），C（0，4）；

（3）由（2）可知AC=5，
①當(dāng)AB=AC，B點(diǎn)在A點(diǎn)左邊時(shí)，B（-2，0），
代入拋物線解析式，得m×（-2）²-（3m+

4

3

）×（-2）+4=0，解得m=-

2

3

，
②當(dāng)AB=AC，B點(diǎn)在A點(diǎn)右邊時(shí)，B（8，0），
代入拋物線解析式，得m×8²-（3m+

4

3

）×8+4=0，解得m=

1

6

，
③當(dāng)AC=BC時(shí)，B（-3，0），
代入拋物線解析式，得m×（-3）²-（3m+

4

3

）×（-3）+4=0，解得m=-

4

9

，
④當(dāng)B在AC的垂直平分線上時(shí)，AB=BC，
設(shè)B（x，0），
∴（x-3）²=x²+4²，
∴x=-

7

6

，
∴B（-

7

6

，0），
代入拋物線解析式，得m×（-

7

6

）²-（3m+

4

3

）×（-

7

6

）+4=0，解得m=-

8

7

，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-

2

3

x²+

2

3

x+4或y=

1

6

x²-

11

6

x+4或y=-

4

9

x²+4或y=-

8

7

x²-+

44

21

x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)拋物線解析式求A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，得出AC的長(zhǎng)度，根據(jù)AC為腰，為底邊分類(lèi)求B點(diǎn)坐標(biāo)．