Question

如圖，直線y=2x+4分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，在此直線上有一點(diǎn)P，坐標(biāo)是(-

4

5

，

12

5

)，過點(diǎn)P的直線交y軸于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求直線EF的解析式．
（2）求證：AB=EF．
（3）請你判斷△APF是否是直角三角形，并說出理由．

Answer 1

（1）設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
則有

- 4 5 k+b= 12 5 4k+b=0

，
解此方程組得：

k=- 1 2 b=2

，
∴直線EF的解析式為：y=-

1

2

x+2；

（2）直線y=2x+4別與x軸、y軸交點(diǎn)分別為A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=2

5

，
∵直線y=-

1

2

x+2與y軸的交點(diǎn)E（0，2），
∴OE=2，
∵OF=4，
∴EF=

OE2+OF2

=2

5

，
∴AB=EF；

（3）△APF是直角三角形．
理由：在△OAB和△OEF中，

OA=OE=2 ∠AOB=∠EOF=90° OB=OF=4

，
∴△OAB≌△OEF（SAS），
∴∠OFE=∠OBA，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OAB+∠OFE=90°，
∴∠APF=90°，
即△APF是直角三角形．