Question

已知，矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，垂足為O．

(1)如圖，連接AF、CE．求證四邊形AFCE為菱形，并求AF的長(zhǎng)；

(2)如圖，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

①已知點(diǎn)P的速度為每秒5 cm，點(diǎn)Q的速度為每秒4 cm，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值．

②若點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a、b(單位：cm，ab≠0)，已知A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：①∵四邊形是矩形 　　∴∥ 　　∴， 　　∵垂直平分，垂足為 　　∴ 　　∴≌ 　　∴ 　　∴四邊形為平行四邊形 　　又∵ 　　∴四邊形為菱形 　　②設(shè)菱形的邊長(zhǎng)，則 　　在中， 　　由勾股定理得，解得 　　∴ 　　(2)①顯然當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在上，此時(shí)、、、四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形；同理點(diǎn)在上時(shí)，點(diǎn)在或上，也不能構(gòu)成平行四邊形．因此只有當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，才能構(gòu)成平行四邊形 　 　　∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)， 　　∵點(diǎn)的速度為每秒5，點(diǎn)的速度為每秒4，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒 　　∴， 　　∴，解得 　　∴以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，秒． 　�、谟深}意得，以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)、在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上． 　　分三種情況： 　　i)如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，，即，得 　　ii)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，，即，得 　　iii)如圖3，當(dāng)點(diǎn)在上、點(diǎn)在上時(shí)，，即，得 綜上所述，與滿足的數(shù)量關(guān)系式是