Question

已知關(guān)于x的一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0．
（1）若6m+n=2，求證：此方程有一個根為2；
（2）在（1）的條件下，二次函數(shù)y=mx²+（m-1）x+n 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），求代數(shù)式(

m2-4n2

m2-4mn+4n2

-

2n

m-2n

)÷

m2+2mn

m-2n

的值；
（3）當(dāng)

m

4

＜n＜0時，求證：此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）先將6m+n=2變形為n=2-6m，再將n=2-6m代入一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0的根的判別式中，求出△=（5m-1）²，然后代入求根公式即可；
（2）在（1）的條件下，即二次函數(shù)y=mx²+（m-1）x+n 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，0），將點(diǎn)（1，2），（2，0）代入y=mx²+（m-1）x+n，得到關(guān)于m、n的二元一次方程組，求出m、n的值，再代入化簡后的式子中，計算即可；
（3）由

m

4

＜n＜0，得出-4mn＞-m²，代入一元二次方程mx²+（m-1）x+n=0的根的判別式中，求出△1-2m＞0，即可證明此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．

解答：解：∵方程mx²+（m-1）x+n=0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴m≠0．
（1）∵6m+n=2，∴n=2-6m．
∵△=（m-1）²-4mn=m²-2m+1-4mn
=m²-2m+1-4m（2-6m）
=25m²-10m+1
=（5m-1）²．
由求根公式，得x=

1-m±(5m-1)

2m

，
∴x₁=2，x₂=

1-3m

m

．
故若6m+n=2，此方程有一個根為2；

（2）∵二次函數(shù)y=mx²+（m-1）x+n 的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2），（2，0），
∴

m+m-1+n=2 4m+2m-2+n=0

，
解得

m=- 1 4 n= 7 2

．
∴(

m2-4n2

m2-4mn+4n2

-

2n

m-2n

)÷

m2+2mn

m-2n

=[

(m+2n)(m-2n)

(m-2n)2

-

2n

m-2n

]•

m-2n

m(m+2n)

=

m

m-2n

•

m-2n

m(m+2n)

=

1

m+2n

=

1

- 1 4 +2× 7 2

=

4

27

；

（3）∵

m

4

＜n＜0，即m＜0，n＜0，
∴n＞

m

4

，-4mn＞-m²，
∴△=（m-1）²-4mn＞m²-2m+1-m²=1-2m＞0，
∴此方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評：本題主要考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△與方程根的關(guān)系，分式的化簡求值，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，有一定難度．