Question

【題目】如圖拋物線經(jīng)過點(diǎn)，tan∠CAB=3，且．

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，連接，直線把四邊形的面積分為兩部分，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；對稱軸為：x=1；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）．

【解析】

（1）OB=OC，則點(diǎn)B（3，0），則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，C點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出a的值，得到拋物線方程，再進(jìn)行配方即可求出對稱軸方程；
（2）根據(jù)S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE求出點(diǎn)E坐標(biāo)，進(jìn)而可求出直線PC的解析式，再與拋物線方程聯(lián)立方程組，求解方程組即可求得點(diǎn)P坐標(biāo)．

（1）∵

∴OA=1，

∵tan∠CAB= 3

∴OC=3

∵OB=OC，

∴點(diǎn)B（3，0），C（0，3）
則拋物線的表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故拋物線的表達(dá)式為：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
函數(shù)的對稱軸為：x=1；

(2)如圖，設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)E，

直線CP把四邊形CBPA的面積分為3：5兩部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
則BE：AE=3：5或5：3，

∵AB=|-1-3|=4

∴AE=或，
即：點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）或（，0），
設(shè)直線PC的解析式為：y=kx+b,

將點(diǎn)E（，0）、C（0，3）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得，

，解得；

此時直線CP的表達(dá)式為：y=-2x+3；

將點(diǎn)E（，0）、C（0，3）的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得，

，解得；

故直線CP的表達(dá)式為： y=-6x+3…②
聯(lián)立①或

解①得：或 （不符合題意，舍去））

解②得：或 （不符合題意，舍去））

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-5）或（8，-45）．