Question

【題目】在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，點(diǎn)P為線段BC上一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到某一位置時，它到點(diǎn)A，B的距離都等于a，到點(diǎn)P的距離等于a的所有點(diǎn)組成的圖形為W，點(diǎn)D為線段BC延長線上一點(diǎn)，且點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離也等于a．

（1）求直線DA與圖形W的公共點(diǎn)的個數(shù)；

（2）過點(diǎn)A作AE⊥BD交圖形W于點(diǎn)E，EP的延長線交AB于點(diǎn)F，當(dāng)a＝2時，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）1個；（2）

【解析】

（1）連接AP，根據(jù)圓周角定理得到∠APD＝45°，求得DA＝AP＝a，得到∠D＝∠APD＝45°，推出D A⊥PA，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BAP＝∠B＝22.5°，求得∠PAC＝∠PCA＝67.5°，推出點(diǎn)C在⊙P上，根據(jù)垂徑定理得到AC＝CE，求得∠APE＝90°，于是得到結(jié)論．

解：（1）直線DA與圖形W的公共點(diǎn)的個數(shù)為1個；

∵點(diǎn)P到點(diǎn)A，B的距離都等于a，

∴點(diǎn)P為AB的中垂線與BC的交點(diǎn)，

∵到點(diǎn)P的距離等于a的所有點(diǎn)組成圖形W，

∴圖形W是以點(diǎn)P為圓心，a為半徑的圓，

根據(jù)題意補(bǔ)全圖形如圖所示，

連接AP，

∵∠B＝22.5°，

∴∠APD＝45°，

∵點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離也等于a，

∴DA＝AP＝a，

∴∠D＝∠APD＝45°，

∴∠PAD＝90°，

∴DA⊥PA，

∴DA為⊙P的切線，

∴直線DA與圖形W的公共點(diǎn)的個數(shù)為1個；

（2）∵AP＝BP，

∴∠BAP＝∠B＝22.5°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠PAC＝∠PCA＝67.5°，

∴PA＝PC＝a，

∴點(diǎn)C在⊙P上，

∵AE⊥BD交圖形W于點(diǎn)E，

∴

∴AC＝CE，

∴∠DPE＝∠APD＝45°，

∴∠APE＝90°，

∵EP＝AP＝a＝2，

∴AE＝，∠E＝45°，

∵∠B＝22.5°，AE⊥BD，

∴∠BAE＝67.5°，

∴∠AFE＝∠BAE＝67.5°．

∴EF＝AE＝．