Question

如圖，已知在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E是BD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EA=EC．
（1）求證：四邊形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求證：四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

證明；（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AO=CO=AC，
∵EA=EC，
∴EO⊥AC，
即BD⊥AC，
∴平行四邊形ABCD是菱形；

（2）∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED，
∴∠1=∠DAC，
∴AO=DO，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC=2AO，DB=2DO，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是正方形．
分析：（1）首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AO=CO=AC，再由EA=EC可得△EAC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得DO⊥AC，根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可證出結(jié)論；
（2）首先根據(jù)角的關(guān)系證明AO=DO，進(jìn)而得到AC=BD，再根據(jù)對(duì)角線相等的菱形是正方形可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了菱形的判定與正方形的判定，關(guān)鍵是掌握正方形的判定方法①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)矩形有一個(gè)角為直角．