Question

【題目】如圖，直線交于、兩點，是的直徑，的平分線交于點，過點作于點．

（1）求證：為的切線;

（2）若，的直徑為10，求的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）6

【解析】

（1）連接OD，由∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE=∠DAO=∠ODA，即可證明∠ODE=90°．
（2）先證明△DAE∽△CAD得到AD2=ACAE求出AE，再根據(jù)切線的性質(zhì)定理DE2=EAEB解決問題．

（1）如圖1，連接OD

∵OD=OA，

∴∠ODA=∠OAD，

∵DA平分∠CAP，

∴∠DAE=∠OAD=∠ODA

∵DE⊥PB，

∴∠DEA=90°

∴∠ADE+∠DAE=90°

∴∠ADE+∠ODA=90°

∴∠ODE=90°

∴OD⊥DE，

∴DE是O的切線．

（2）如圖2中，連接CD

設(shè)AE=x，則DE=6x，AD=

∵AC是直徑，

∴∠ADC=90°

∵∠ADC=∠DEA=90°，∠DAC=∠DAE，

∴△DAE∽△CAD，

∴

∴AD2=ACAE，

∴x2+(6x)2=10x

x=2(或9不合題意舍棄)

∴AE=2，ED=4，

∵DE是切線，

∴DE2=EAEB，

∴16=2(2+AB)，

∴AB=6

故答案為：6