Question

已知：線段OA⊥OB，點C為OB中點，D為線段OA上一點．連接AC，BD交于點P．
（1）如圖1，當(dāng)OA=OB，且

AD

AO

=

1

2

時，求

AP

PC

的值；
（2）如圖2，當(dāng)OA=OB，且

AD

AO

=

1

4

時，①

AP

PC

=

2

3

；②證明：∠BPC=∠A；
（3）如圖3，當(dāng)AD：AO：OB=1：n：2

n

時，直接寫出tan∠BPC的值．

Answer 1

分析：（1）過C作CE∥BD交AO于點E，則CE為△OBD的中位線，得到DE=OE，由PD∥CE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得

AP

PC

=

AD

DE

，又

AD

AO

=

1

2

得AD=DO，則有AD=2DE，即可得到

AP

PC

=2；
（2）①與（1）不同的是

AD

AO

=

1

4

則DO=3AD，得2DE=3AD即AD=

2

3

DE，則

AP

PC

=

2

3

；②設(shè)OB=8a，則OA=OB=8a，OC=4a，AD=2a，DE=OE=3a，根據(jù)勾股定理得到CE=

(4a)2+(3a)2

=5a，則有EC=EA，得到∠ACE=∠A，而∠BPC=∠ACE，即可得到結(jié)論；
（3）過D作DF⊥AC，垂足為F，過C作CE∥BD交AO于點E，設(shè)AD=a，則AO=na，OB=2a

n

，由點C為OB中點，則CO=a

n

，利用勾股定理可計算得AC=

n2+n

a，易證得Rt△ADF∽Rt△ACO，得到AF：AO=DF：OC=AD：AC，即AF：na=DF：

n

a=a：

n2+n

a，求出AF=

n

n+1

a，DF=

a

n+1

，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AP：AC=AD：AE，即AP：

n2+n

a=a：

n+1

2

a，求出AP=

2 a n

n+1

，則PF=AP-AF=

n

n+1

a，然后根據(jù)正切的定義即可得到tan∠FPD，從而得到tan∠BPC的值．

解答：解：（1）過C作CE∥BD交AO于點E，如圖，
∵點C為OB中點，
∴CE為△OBD的中位線，
∴DE=OE，
∵PD∥CE，
∴

AP

PC

=

AD

DE

，
又∵

AD

AO

=

1

2

，
∴AD=DO，
∴AD=2DE，
∴

AP

PC

=2；
（2）①過C作CE∥BD交AO于點E，如圖，
∵點C為OB中點，
∴CE為△OBD的中位線，
∴DE=OE，
∵PD∥CE，
∴

AP

PC

=

AD

DE

，
又∵

AD

AO

=

1

4

，
∴DO=3AD，
∴2DE=3AD，
∴AD=

2

3

DE，
∴

AP

PC

=

2

3

；
②設(shè)OB=8a，
∴OA=OB=8a，OC=4a，
AD=2a，DE=OE=3a，
而OA⊥OB，
∴∠COE=90°，
在Rt△OCE中，OC=4a，OE=3a，則CE=

(4a)2+(3a)2

=5a，
∴EC=EA，
∴∠ACE=∠A，
而CE∥BD，
∴∠BPC=∠ACE，
∴∠BPC=∠A；
故答案為

2

3

；
（3）過D作DF⊥AC，垂足為F，過C作CE∥BD交AO于點E，如圖，
設(shè)AD=a，則AO=na，OB=2a

n

，
∵點C為OB中點，
∴CO=a

n

，
在Rt△ACO中，AC=

AO2+CO2

=

n2+n

a，
又∵Rt△ADF∽Rt△ACO，
∴AF：AO=DF：OC=AD：AC，即AF：na=DF：

n

a=a：

n2+n

a，
∴AF=

n

n+1

a，DF=

a

n+1

，
又∵PD∥CE，
∴AP：AC=AD：AE，即AP：

n2+n

a=a：

n+1

2

a，
∴AP=

2 a n

n+1

，
∴PF=AP-AF=

n

n+1

a，
∴tan∠FPD=

FD

PF

=

1

n

=

n

n

．
∴tan∠BPC=

n

n

．

點評：本題考查了平行線分線段成比例定理：如果一組平行線被兩條直線所截，那么所截得的線段對應(yīng)成比例．也考查了三角形中位線的性質(zhì)、勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義．