Question

已知：線段OA⊥OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，D為線段OA上一點(diǎn)．連接AC，BD交于點(diǎn)P．
（1）如圖1，當(dāng)OA=OB，且D為OA中點(diǎn)時(shí)，求

AP

PC

的值；
（2）如圖2，當(dāng)OA=OB，且

AD

AO

=

1

4

時(shí)，求tan∠BPC的值．
（3）如圖3，當(dāng)AD：AO：OB=1：n：2

n

時(shí)，直接寫出tan∠BPC的值．

Answer 1

分析：（1）過D作BO的平行線，根據(jù)平行線分線段成比例定理，在△ACO中ED：CO=AD：AO，在△PDE和△PCB中，ED：BC=PE：PC，再根據(jù)C是BO的中點(diǎn)，可以求出PE：PC=1：2，再根據(jù)三角形中位線定理，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，利用比例變形即可求出AP與PC的比值等于2；
（2）同（1）的方法，先求出PC=

3

5

AC，再過D作DF⊥AC于F，設(shè)AD為a，利用勾股定理求出AC等于2

5

a，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出DF、AF的值，而PF=AC-AF-PC，也可求出，又∠BPC與∠FPD是對頂角，所以其正切值便可求出．
（3）根據(jù)（2）的方法，把相應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行代換即可求出．

解答：
解：（1）過D作DE∥CO交AC于E，
∵D為OA中點(diǎn)，
∴AE=CE=

1

2

AC，

DE

CO

=

1

2

，
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴BC=CO，

DE

BC

=

1

2

，
∴

PE

PC

=

DE

BC

=

1

2

，
∴PC=

2

3

CE=

1

3

AC，
∴

AP

PC

=

AC-PC

PC

=

2 3 AC

1 3 AC

=2；

（2）過點(diǎn)D作DE∥BO交AC于E，
∵

AD

AO

=

1

4

，
∴

DE

CO

=

AE

AC

=

1

4

，
∵點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴

DE

BC

=

1

4

，
∴

PE

PC

=

DE

BC

=

1

4

，
∴PC=

4

5

CE=

3

5

AC，
過D作DF⊥AC，垂足為F，設(shè)AD=a，則AO=4a，
∵OA=OB，點(diǎn)C為OB中點(diǎn)，
∴CO=2a，
在Rt△ACO中，AC=

AO2+CO2

=

(4a)2+(2a)2

=2

5

a，
又∵Rt△ADF∽R(shí)t△ACO，
∴

AF

AO

=

DF

CO

=

AD

AC

=

a

2 5 a

，
∴AF=

2 5

5

a，DF=

5

5

a，
PF=AC-AF-PC=2

5

a-

2 5

5

a-

3

5

×2

5

a=

2 5

5

a，
tan∠BPC=tan∠FPD=

DF

PF

=

1

2

．

（3）與（2）的方法相同，設(shè)AD=a，求出DF=

n+1

n+1

a，
PF=

n2+n

n+1

a，所以tan∠BPC=

n

n

．

點(diǎn)評：本題難度較大，需要對平行線分線段成比例定理靈活運(yùn)用，根據(jù)勾股定理構(gòu)造出直角三角形并求出其直角邊的長，準(zhǔn)確作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，也是求解的難點(diǎn)，這就要求同學(xué)們在平時(shí)的學(xué)習(xí)中對公式定理要熟練掌握并靈活運(yùn)用，不斷提高自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力．