Question

已知關于x的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0．
（1）求證：當a取不等于1的實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若m，n（m＜n）是此方程的兩根，并且

1

m

+

1

n

=

4

3

．直線l：y=mx+n交x軸于點A，交y軸于點B．坐標原點O關于直線l的對稱點O′在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式；
（3）在（2）成立的條件下，將直線l繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜90°），得到直線l′，l′交y軸于點P，過點P作x軸的平行線，與上述反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點Q，當四邊形APQO′的面積為9-

3 3

2

時，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）由方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0為一元二次方程，所以a≠0；要證明方程總有兩個實數(shù)根，即證明當a取不等于1的實數(shù)時，△＞0，而△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，即可得到△≥0．
（2）先利用求根公式求出兩根3，

1

a-1

，再代入

1

m

+

1

n

=

4

3

，可得到a=2，則m=1，n=3，直線l：y=x+3，這樣就可得到坐標原點O關于直線l的對稱點，代入反比例函數(shù)y=

k

x

，即可確定反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式；
（3）延長PQ，AO′交于點G，設P（0，p），則Q（-

9

p

，p）．四邊形APQO'的面積=S_△APG-S_△QGO′=9-

3 3

2

，這樣可求出p；可得到OP，PA，可求出∠PAO=60°，這樣就可求出θ．

解答：（1）證明：∵方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0是一元二次方程，
∴a-1≠0，即a≠1．
∴△=（2-3a）²-4×（a-1）×3=（3a-4）²，而（3a-4）²≥0，
∴△≥0．
所以當a取不等于1的實數(shù)時，此方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：∵m，n（m＜n）是此方程的兩根，
∴m+n=-

2-3a

a-1

，mn=

3

a-1

．
∵

1

m

+

1

n

=

4

3

，

m+n

mn

=

4

3

，
∴-

2-3a

3

=

4

3

，
∴a=2，即可求得m=1，n=3．
∴y=x+3，則A（-3，0），B（0，3），
∴△ABO為等腰直角三角形，
∴坐標原點O關于直線l的對稱點O′的坐標為（-3，3），把（-3，3）代入反比例函數(shù)y=

k

x

，得k=-9，
所以反比例函數(shù)的解析式為y=-

9

x

；

（3）解：設點P的坐標為（0，P），延長PQ和AO′交于點G．
∵PQ∥x軸，與反比例函數(shù)圖象交于點Q，
∴四邊形AOPG為矩形．
∴Q的坐標為（-

9

p

，p），
∴G（-3，P），
當0°＜θ＜45°，即p＞3時，
∵GP=3，GQ=3-

9

p

，GO′=p-3，GA=p，
∴S_{四邊形APQO′}=S_△APG-S_△QGO′=

1

2

×p×3-

1

2

×（3-

9

p

）×（p-3）=9-

27

2p

，
∴9-

3 3

2

=9-

27

2p

，
∴p=3

3

．（合題意）
∴P（0，3

3

）．則AP=6，OA=3，
所以∠PAO=60°，∠θ=60°-45°=15°；
當45°≤θ＜90°，則p＜-3，
用同樣的方法也可求得p=3

3

，這與p＜-3相矛盾，舍去．
所以旋轉角度θ為15°．

點評：題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)和一些幾何圖形的性質(zhì)．