Question

如圖，△ABP中，∠APB=120°，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，請(qǐng)根據(jù)所述條件，判斷下列論斷：①CD²=AC•DB；②AP²=AC•AB；③AP•PC=PD•PB；④BP²-BD²=AD•DB，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：由△ABP中，∠APB=120°，點(diǎn)C、D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，易證得△APC∽△PBD∽△ABP，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可證得：①CD²=AC•DB；②AP²=AC•AB正確，③AP•PC=PD•PB錯(cuò)誤，可得BP²-BD²=AB•BD-BD²=BD•（AB-BD）=AD•DB，即④正確．

解答：解：∵△PCD是等邊三角形，
∴∠CPD=∠PCD=∠PDC=60°，PC=PD=CD，
∴∠ACP=∠PDB=120°，∠A+∠APC=∠PCD=60°，
∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=180°-∠APB=60°，
∴∠APC=∠B，
∴△APC∽△PBD，
∴

PC

BD

=

AC

PD

，
∴PC•PD=AC•DB，
∴CD²=AC•DB；
故①正確；
∵∠APC=∠B，∠A是公共角，
∴△APC∽△ABP，
∴

AP

AB

=

AC

AP

，
∴AP²=AC•AB；
故②正確；
∵△APC∽△PBD，
∴AP：PB=PC：BD，
∴AP•BD=PC•PB，
∵PC=PD=CD，
∴AP•BD=PD•PB，
故③錯(cuò)誤；
∵△APC∽△PBD，△APC∽△ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴BP：AB=BD：BP，
∴BP²=AB•BD，
∴BP²-BD²=AB•BD-BD²=BD•（AB-BD）=AD•DB；
故④正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．