Question

如圖①在正方形網(wǎng)格中有四邊形ABCD．

（1）利用網(wǎng)格作∠A、∠B的平分線；
（2）∠A、∠B的平分線交于點(diǎn)O，判斷點(diǎn)O是否在其他兩個(gè)角的平分線上；
（3）從圖中得出的結(jié)論：①AD∥BC；②∠AOB=∠DOC=90°；③AD+BC=AB+CD；④S_△AOB=S_△COD；⑤∠AOD與∠BOC互補(bǔ)；其中正確的結(jié)論為

 

（寫序號(hào)）
（4）如圖②，在四邊形ABCD中四個(gè)內(nèi)角平分線仍相交于一點(diǎn)O，在（3）的正確結(jié)論中，哪些仍然成立？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用網(wǎng)格線很容易作出∠A、∠B的平分線，
（2）結(jié)合圖形，通過求證三角形全等，即可推出點(diǎn)O在其他兩個(gè)角的平分線上，（3）根據(jù)（1）（2）中所推出的結(jié)論，可知OA⊥BO，結(jié)合角平分線的性質(zhì)，即可推出結(jié)論①和②，再根據(jù)周角的定義，即可推出結(jié)論⑤，然后根據(jù)四邊形內(nèi)切圓的定義和性質(zhì)，即可推出結(jié)論③，（4）根據(jù)圖2，只能推出O點(diǎn)為四邊形的內(nèi)心，既而得出結(jié)論③AD+BC=AB+CD．

解答：解：（1）如圖：AO，BO為∠A、∠B的平分線，

（2）如（1）中圖，
∵在△EOC和△FOC中，

OE=OF OC=OC CE=CF

，
∴△EOC≌△FOC（SSS），
∴∠ECO=∠FCO，
∴O點(diǎn)在∠BCD的角平分線上，
同理：O點(diǎn)也在∠ADC的角平分線上，

（3）如圖：OA⊥BO，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∵AO，BO為∠A、∠B的平分線，
∴∠BAD+∠CBA=180°，
∴AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵OD，OC分別為∠DCB，∠CDA的角平分線，
∴∠ODC+∠OCD=90°，
∴OD⊥OC，
∴∠AOD+∠BOC=180°，
∵O點(diǎn)為四邊形四個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)，
∴O點(diǎn)為其內(nèi)心，
∴AD+BC=AB+CD，
∵AB≠CD，
∴S_△AOB≠S_△COD，

（4）∵四邊形ABCD中四個(gè)內(nèi)角平分線仍相交于一點(diǎn)O，
∴O點(diǎn)為四邊形ABCD的內(nèi)心，
∴AD+BC=AB+CD，
∴在（3）的正確結(jié)論中，③仍然成立．
故答案為①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查角平分線的性質(zhì)、作角平分線，全等三角形的判定與性質(zhì)、四邊形的內(nèi)切圓的定義與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于結(jié)合網(wǎng)絡(luò)圖形分析出相等關(guān)系，熟練正確地運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理．