Question

（2012•鞍山一模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)M是△ABC外接圓的圓心．
（1）求經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，Q是直線(xiàn)CD上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出以A、D、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）在拋物線(xiàn)上找求點(diǎn)P，使△PAB的面積與△MCD的面積之比為2：3，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出a、b、c的值，進(jìn)而求出拋物線(xiàn)的解析式；由于三角形外心的定義可知M點(diǎn)必在線(xiàn)段BC的垂直平分線(xiàn)上，且到線(xiàn)段A、B兩端的距離相等，故可得出點(diǎn)M所在線(xiàn)段的解析式，設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，由AM=BM即可得出結(jié)論；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)CD及AM的解析式，判斷出兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）先求出△MCD的面積，△PAB的面積與△MCD的面積之比為2：3，可求出△PAB的面積，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出AB的長(zhǎng)，故可得出點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離，再由點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出x的值．

解答：解：（1）設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（0，3），B（-1，0），C（3，0），
∴

c=3 a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
故此拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x²+2x+3；
∵點(diǎn)M是△ABC外接圓的圓心，B的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0），
∴點(diǎn)M所在的直線(xiàn)為x=1，
∴設(shè)M（1，y），則AM=BM，即1²+（3-y）²=（-1-1）²+y²，
解得y=1，
故M（1，1）；

（2）如圖所示：
∵拋物線(xiàn)的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，點(diǎn)D為此拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
∴D（1，4），
設(shè)過(guò)CD兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為y=kx+b，
∵C（3，0）、D（1，4），
∴

3k+b=0 k+b=4

，
解得

k=-2 b=6

，
故直線(xiàn)CD的解析式為y=-2x+6；
同理可得直線(xiàn)AM的解析式為y=-2x+3，
則AM∥CD，
∵點(diǎn)Q在直線(xiàn)CD上，
∴設(shè)Q（x，-2x+6），
∵四邊形ADMQ是平行四邊形，
∴AM=QD，即（x-1）²+（-2x+6-4）²=5，
解得x=0或x=2，
∴Q₁（0，6），Q₂（2，2）；

（3）如圖2，
∵D（1，4），M（1，1），C（3，0），
∵DM=4-1=3，點(diǎn)C到直線(xiàn)DM的距離為2，
∴S_△MCD=

1

2

×3×2=3，
∵△PAB的面積與△MCD的面積之比為2：3，
∴S_△PAB=2，
∵A（0，3），B（-1，0），
∴AB=

(0+1)2+(3-0)2

=

10

，
設(shè)過(guò)點(diǎn)A、B的直線(xiàn)解析式為y=ax+b，則

b=3 -k+b=0

，
解得

k=3 b=3

，
故過(guò)點(diǎn)A、B的直線(xiàn)解析式為y=3x+3，
設(shè)點(diǎn)P（x，-x²+2x+3），點(diǎn)P到直線(xiàn)AB的距離等于h，則

1

2

AB•h=2，

10

2

h=2，
解得h=

2 10

5

，
則

|3x-(-x2+2x+3)+3|

32+32

=

2 10

5

，
解得x=

-1± 17

2

，
故P（

-1± 17

2

，

-5± 17

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形的外接圓等相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．