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          精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          
			
          
				
          我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它由四個全等的直角三角形拼接而成．點E，F，G，H分別是AF，BG，CH，DE的中點，點M，N，P，Q分別是HE，EF，FG，GH上的中點，且四邊形MNPQ是正方形，已知正方形ABCD的面積為20，則正方形MNPQ的面積是
          2
          2
          ．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          分析：由E為AF的中點，得到AE為AF的一半，由題意得到AE為DE的一半，根據正方形ABCD的面積求出邊長，在直角三角形AED中，設AE=x，則DE=2x，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出正方形EFGH的邊長，進而求出它的面積，根據正方形MNQP為正方形EFGH的中點四邊形，面積為正方形EFGH的一半，求出即可．
          解答：解：∵E為AF的中點，DE=AF，
          ∴AE=
          1
          2
          DE，
          ∵正方形ABCD面積為20，∴AD=2
          		5
          ，
          在Rt△ADE中，設AE=x，則DE=2x，
          根據勾股定理得：AD2=AE2+DE2，即20=x2+4x2，
          解得：x=2，
          ∴AE=EF=2，
          ∴正方形EFGH的面積為4，
          ∵正方形MNQP為正方形EFGH的中點四邊形，
          ∴正方形MNQP的面積為2．
          故答案為：2
          點評：此題考查了勾股定理的證明，涉及的知識有：勾股定理，中點四邊形的性質，以及正方形面積公式的應用，利用了方程的思想，熟練掌握勾股定理是解本題的關鍵．
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：初中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          [問題情境]
          勾股定理是一條古老的數學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數學家趙爽根據弦圖，利用面積法進行證明，著名數學家華羅庚曾提出把“數形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言．
          [定理表述]
          請你根據圖1中的直角三角形，寫出勾股定理內容；
          [嘗試證明]
          以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理．
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          勾股定理是一條古老的數學定理，它有很多種證明方法，我國漢代數學家趙爽根據弦圖，利用面積進行了證明．著名數學家華羅庚提出把“數形關系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進行第一次“談話”的語言．
          請根據圖1中直接三角形敘述勾股定理．
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          以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2）．請你利用圖2，驗證勾股定理；
          利用圖2中的直角梯形，我們可以證明
          a+b
          c
          ＜
          		2
          ．其證明步驟如下：
          ∵BC=a+b，AD=
           
          ；
          又∵在直角梯形ABCD中有BC
           
          AD（填大小關系），即
           
          ．
          ∴
          a+b
          c
          ＜
          		2
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是用八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3． 若S1+S2+S3=15，則S2的值是
          5
          5
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：初中數學
				來源：
				題型：
			
          

						
          [定理表述]
          請你根據圖1中的直角三角形敘述勾股定理（分別用文字語言及符號語言敘述）；
          [嘗試證明]
          它有很多種證明方法，我國漢代數學家趙爽根據弦圖，利用面積法進行證明．現以圖1中的直角三角形為基礎，可以構造出以a、b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2），請你利用圖2，驗證勾股定理；
          [知識拓展]
          如圖3所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，已知A、B到l的距離分別是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，現設計兩種方案：
          方案一：如圖4所示，AP⊥l于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a1=AB+AP．
          方案二：如圖5所示，點A′與點A關于l對稱，A′B與l相交于點P，泵站修建在點P處，該方案中管道長度a2=AP+BP．①在方案一中，a1=
          x+3
          x+3
          km（用含x的式子表示）
          ②在方案二中，a2=
          		x2+48
          		x2+48
          km（用含x的式子表示）
          ③請你分析：要使鋪設的輸氣管道較短，應選擇方案一還是方案二．
          

			
          

			
          
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