Question

勾股定理是一條古老的數(shù)學(xué)定理，它有很多種證明方法，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽根據(jù)弦圖，利用面積進(jìn)行了證明．著名數(shù)學(xué)家華羅庚提出把“數(shù)形關(guān)系”（勾股定理）帶到其他星球，作為地球人與其他星球“人”進(jìn)行第一次“談話”的語言．
請根據(jù)圖1中直接三角形敘述勾股定理．

以圖1中的直角三角形為基礎(chǔ)，可以構(gòu)造出以a，b為底，以a+b為高的直角梯形（如圖2）．請你利用圖2，驗證勾股定理；
利用圖2中的直角梯形，我們可以證明

a+b

c

＜

2

．其證明步驟如下：
∵BC=a+b，AD=

 

；
又∵在直角梯形ABCD中有BC

 

AD（填大小關(guān)系），即

 

．
∴

a+b

c

＜

2

．

Answer 1

分析：利用SAS可證△ABE≌△ECD，可得對應(yīng)角相等，結(jié)合90°的角，可證∠AED=90°，利用梯形面積等于三個直角三角形的面積和，可證a²+b²=c²，在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已證△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=

2

c，從而可證

a+b

c

＜

2

．

解答：解：如果直角三角形的兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，那么a²+b²=c²．
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC；
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°；
∴∠AED=90°；（5分）
S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED

1

2

（a+b）（a+b）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c2；

1

2

（a²+2ab+b²）=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

c2；
整理得a²+b²=c²（7分）．
AD=

2

c，BC＜AD，a+b＜

2

c．（10分）

點評：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)、面積分割法、勾股定理等知識．