Question

（2011•同安區(qū)質(zhì)檢）已知：如圖，A（a，m），B（2a，n）是反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)圖象上的兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA，OB．
（1）求證：S_△AOC=S_△OBD；
（2）若A，B兩點(diǎn)又在一次函數(shù)y=-

4

3

x+b的圖象上，且S_△OAB=8，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)得坐標(biāo)特點(diǎn)得到am=k，2an=k，再根據(jù)三角形面積公式得到S_△AOC=

1

2

OC•AC=

1

2

a×m=

1

2

k，S_△BOD=

1

2

OD×BD=

1

2

×2a×n=

1

2

k，即可得到結(jié)論；
（2）先把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式，可以用a表示為A點(diǎn)坐標(biāo)（a，-

4

3

a+b），B點(diǎn)坐標(biāo)（2a，-

8

3

a+b），再利用A、B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，則k=a•（-

4

3

a+b）=2a•（-

8

3

a+b），于是解得b=4a，然后用a表示一次函數(shù)與坐標(biāo)軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)F（0，4a），E（3a，0），然后利用S_△AOB=S_△E0F-S_△EOA-S_△BOF=8和三角形面積公式得到關(guān)于a的方程，再解方程可得a的值．

解答：（1）證明：∵A（a，m），B（2a，n）是反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)上，且AC⊥OC，BD⊥OD，
∴am=k，2an=k，
∵S_△AOC=

1

2

OC•AC=

1

2

a×m=

1

2

k，S_△BOD=

1

2

OD×BD=

1

2

×2a×n=

1

2

k，
∴S_△AOC=S_△OBD；

（2）解：∵A，B兩點(diǎn)在一次函數(shù)y=-

4

3

x上，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)可表示為（a，-

4

3

a+b），B點(diǎn)坐標(biāo)表示為（2a，-

8

3

a+b），
∵A，B在是反比例函數(shù)y=

k

x

上，
∴a•（-

4

3

a+b）=2a•（-

8

3

a+b），解得b=4a，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，

8

3

a），B點(diǎn)坐標(biāo)表示為（2a，

4

3

a），
∵A（a，m），B（2a，n）是反比例函數(shù)y=

k

x

(k＞0)上，
∴一次函數(shù)y=-

4

3

x+b與x軸，y軸的交點(diǎn)F（0，4a），E（3a，0），如圖，
∵S_△AOB=S_△E0F-S_△FOA-S_△BOE=8，
即

1

2

•3a•4a-

1

2

4a•a-

1

2

•3a•

4

3

a=8，
∴a²=4，
∴a=±2（負(fù)號(hào)舍去）
∴a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩個(gè)函數(shù)的解析式．也考查了三角形面積公式．