Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥DB交AB于點E，過B、D、E三點作⊙O．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O交BC于點F，連接EF，若BC=9，CA=12．求

EF

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）要想證明AC是切線，需要先連接OD，利用“經(jīng)過半徑的外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線”來證明AC是⊙O的切線，所以需要根據(jù)∠OBD=∠ODB，∠CBD=∠ABD，求得BC∥OD從而得到OD⊥AC；
（2）先利用△ADO∽△ACB求出半徑r的值，再利用△BEF∽△BAC的相似比即可求出

EF

AC

的值為

3

4

．

解答：（1）證明：連接OD，
∵DE⊥DB，∴∠BDE=90°．
∴BE是⊙O的直徑．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．
∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABD．
∴∠CBD=∠ODB．
∴BC∥OD．
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC．
∴OD⊥AC．（1分）
∵OD是⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．（2分）

（2）解：設(shè)⊙O的半徑為r，
在△ABC中，∠ACB=90°，BC=9，CA=12，
∴AB=15．（3分）
∵BC∥OD，
∴△ADO∽△ACB．
∴

AO

AB

=

OD

BC

，
∴

15-r

15

=

r

9

，
∴r=

45

8

，
∴BE=

45

4

，（4分）
又∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BEF=90°，
∴△BEF∽△BAC，
∴

EF

AC

=

BE

BA

=

45 4

15

=

3

4

．（5分）

點評：主要考查了角平分線的性質(zhì)和切線的判定以及相似三角形中的成比例線段的運用．要掌握角平分線的性質(zhì)和切線的判定，要會靈活運用相似中的成比例線段某條線段的長度或比值．