Question

如圖，矩形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，A（-3，0），過(guò)點(diǎn)C的直線y=-2x+4與x軸交于點(diǎn)D，二次函數(shù)y=-

1

2

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)．
（1）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)解析式；
（3）若點(diǎn)P是CD的中點(diǎn)，求證：AP⊥CD；
（4）在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)M，使以A、P、C、M為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令直線y=-2x+4的x=0即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)便可求出B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)得到代入二次函數(shù)y=-

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2

x²+bx+c即可求得二次函數(shù)解析式；
（3）連接AC，先證△ACD為等腰三角形，即可證明AP⊥CD
（4）存在，先證明△MNA與△COD相似，即可求得M點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：（1）解：y=-2x+4，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴C（0，4）
在矩形OABC中，BC=OA=3，AB=OC=4．
∴B（-3，4）．

（2）解：∵二次函數(shù)y=-

1

2

x²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，
∴

4=c 4=- 1 2 × 9+b×(-3)+c

∴

b=- 3 2 c=4

∴y=-

1

2

x²-

3

2

x+4．

（3）證明：連接AC，在Rt△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

32+42

=5
∵y=-2x+4，當(dāng)y=0時(shí)，x=2．
∴D（2，0）
∵AD=OA+OD=3+2=5．
∴AD=AC．
∵P是CD的中點(diǎn)，
∴AP⊥CD．

（4）解：存在，理由：假設(shè)四邊形APCM為矩形，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于N點(diǎn)，
在Rt△COD中，CD=

OC2+OD2

=

42+22

=2

5

．∴CP=AM=

1

2

CD=

5

∵M(jìn)A∥CD，∴∠MAN=∠CDO．
∵∠MNA=∠COD=90°，
∴△MNA∽△COD．
∴

MN

CO

=

NA

OD

=

MA

CD

∴MN=4×

5

2 5

=2．
NA=2×

5

2 5

=1
∵ON=OA+AN=4
∴M（-4，2）
把x=-4代入y=-

1

2

x²-

3

2

x+4中，
y=2
∴點(diǎn)M在拋物線上
∴存在這樣的點(diǎn)M，使四邊形APCM為矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和等腰三角形的證明及三角形的相似等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．