Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（2，4），與y軸交于點(diǎn)C，作直線(xiàn)BC，連接AC、CD．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）E是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，求滿(mǎn)足∠ECD=∠ACO的點(diǎn)E的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+4，(2) 點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），（3，）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣x1）（x﹣x2），再把點(diǎn)代入即可得出解析式；

（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)CD的拋物線(xiàn)上方；②當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)CD的拋物線(xiàn)下方；連接CE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，再由三角函數(shù)得出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

（1）∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（2，4），

∴設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=a（x﹣x1）（x﹣x2），

∴y=a（x+2）（x﹣4），

∴﹣8a=4，

∴a=﹣，

∴拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4，

（2）①當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)CD的拋物線(xiàn)上方，記E′，連接CE′，過(guò)點(diǎn)E′作E′F′⊥CD，垂足為F′，

由（1）得OC=4，

∵∠ACO=∠E′OF′，

∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，

∴，

設(shè)線(xiàn)段E′F′=h，則CF′=2h，

∴點(diǎn)E′（2h，h+4），

∵點(diǎn)E′在拋物線(xiàn)上，

∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，

∴h1=0（舍去），h2=，

∴E′（1，）；

②當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)CD的拋物線(xiàn)下方；

同①的方法得，E（3，），

綜上，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），（3，）．