Question

【題目】（問題情境）

課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上的中線AD的取值范圍．

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE．請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考：

（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是　 　．

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

（2）由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是　 　．

解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等條件，可考慮延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個(gè)三角形中．

（初步運(yùn)用）

如圖2，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求線段BF的長(zhǎng)．

（靈活運(yùn)用）

如圖3，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，試猜想線段BE、CF、EF三者之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）B；（2）2＜AD＜10；【初步運(yùn)用】BF＝5；【靈活運(yùn)用】BE2+CF2＝EF2，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)全等三角形的判定定理解答；

（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；

初步運(yùn)用 延長(zhǎng)AD到M，使AD＝DM，連接BM，證明△ADC≌△MDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

靈活運(yùn)用 延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連結(jié)GF，GC，證明△DBE≌△DCG，得到BE＝CG，根據(jù)勾股定理解答．

解：（1）在△ADC和△EDB中，

，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故選：B；

（2）∵△ADC≌△EDB，

∴EB=AC=8，

在△ABE中，

AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴2＜AD＜10，

故答案為：2＜AD＜10；

【初步運(yùn)用】

延長(zhǎng)AD到M，使AD＝DM，連接BM，

∵AE＝EF．EF＝3，

∴AC＝5，

∵AD是△ABC中線，

∴CD＝BD，

∵在△ADC和△MDB中，

，

∴△ADC≌△MDB，

∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，

∵AE＝EF，

∴∠CAD＝∠AFE，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，

∴BF＝BM＝AC，

即BF＝5；

【靈活運(yùn)用】

線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為：BE2+CF2＝EF2．

證明：如圖3，延長(zhǎng)ED到點(diǎn)G，使DG＝ED，連結(jié)GF，GC，

∵ED⊥DF，

∴EF＝GF，

∵D是BC的中點(diǎn)，

∴BD＝CD，

在△BDE和△CDG中，

，

∴△BDE≌△CDG（SAS），

∴BE＝CG，

∵∠A＝90°，

∴∠B+∠ACB＝90°，

∵△BDE≌△CDG，EF＝GF，

∴BE＝CG，∠B＝∠GCD，

∴∠GCD+∠ACB＝90°，即∠GCF＝90°，

∴Rt△CFG中，CF2+GC2＝GF2，

∴BE2+CF2＝EF2．