Question

如圖，拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，1），過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線交于另一點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）點(diǎn)P是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，
設(shè)OP的長(zhǎng)度為m．
①當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上（不與點(diǎn)O、C重合）時(shí)，試用含m的代數(shù)式表示線段PM的長(zhǎng)度；
②聯(lián)結(jié)CM，BN，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？

Answer 1

解：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)A（0，1），B，
∴，
解得：，
∴y=-x²+x+1；

（2）①設(shè)直線的解析式是y=kx+b，
∵直線AB過(guò)點(diǎn)A（0，1）和B，
∴，
解得：，
∴直線AB的解析式為y=x+1，
∵PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，OP=m，
∴P（m，0），M（m，m+1），
∴PM=m+1；
②根據(jù)拋物線的解析式和P點(diǎn)的坐標(biāo)可得：N（m，-m²+m+1），MN∥BC，
∴當(dāng)MN=BC時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形，
1、當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，MN=-m²+m，
又∵BC=，
∴-m²+m=，
解得m₁=1，m₂=2；
2、當(dāng)點(diǎn)P在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，MN=m²-m，
∴m²-m=，
解得：m₁=（不合題意，舍去），m₂=；
綜上所述，當(dāng)m的值為1或2或時(shí)，四邊形BCMN是平行四邊形．
分析：（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，1），B，求出c，b的值，即可求出拋物線的解析式；
（2）①先設(shè)直線的解析式是y=kx+b，根據(jù)直線AB過(guò)點(diǎn)A（0，1）和B，求出b，k的值，求出直線AB的解析式，再根據(jù)PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，OP=m，
得出P（m，0），M（m，m+1），即可求出PM的長(zhǎng)度；
②根據(jù)拋物線的解析式和P點(diǎn)的坐標(biāo)得出N（m，-m²+m+1），MN∥BC，再分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求出MN的值，根據(jù)BC=，得出-m²+m=，求出m得值，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)的綜合，在解題時(shí)要注意解析式的確定，（2）小題②中，都用到了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難點(diǎn)在于考慮問(wèn)題要全面，做到不重不漏．