Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點A在y軸的正半軸上，頂點B在x軸的正半軸上，對角線AC、OB交于點D，且OA、OB的長是方程x²-12x+32=0的兩根（OA＜OB）．
（1）求直線AC的函數(shù)解析式；
（2）若點P從A點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AC運(yùn)動，連接OP．設(shè)△OPD的面積為S，點P的運(yùn)動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）若點M是直線AC上一點，則在平面上是否存在點N，使以A、B、M、N為頂點四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出OA、OB的長度，從而得出點A及點B的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出點C的坐標(biāo)，繼而利用待定系數(shù)法可得出直線AC的解析式；
（2）需要分兩段進(jìn)行討論，①點P在線段AD上，②點P在射線DC上，然后根據(jù)設(shè)出點P的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可得出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)，可分兩種情況進(jìn)行討論，①AB=AM，②BM=AB，③AM=AN，從而可得出點M的坐標(biāo)，結(jié)合菱形的性質(zhì)可得出點N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵OA、OB的長x²-12x+32=0的兩根，OA＜OB，
∴OA=4，OB=8，點A坐標(biāo)為（0，4），點B坐標(biāo)為（8，0），
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴可得點C的橫坐標(biāo)等于點B的橫坐標(biāo)，點C的縱坐標(biāo)等于點A的縱坐標(biāo)的相反數(shù)，
故點C的坐標(biāo)為（8，-4），
設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，則

8k+b=-4 b=4

，
解得：

k=-1 b=4

，
故直線AC的解析式為：y=-x+4；

（2）由（1）可得OB=8，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得點D坐標(biāo)為（4，0），
即OA=OD，∠OAD=∠ODA=45°，AD=4

2

，
①當(dāng)點P在線段AD上時，此時t＜4

2

；

過點P作PE⊥OA，PF⊥OB，則可得AP=t，
在RT△AEP中，EP=

2

2

t，即點P的橫坐標(biāo)為

2

2

t，
∵點P在直線AC上，
∴點P的縱坐標(biāo)為：-

2

2

t+4，
此時S_△OPD=

1

2

OD×P_{縱坐標(biāo)}=8-

2

t（t＜4

2

）；
②當(dāng)點P在射線DC上時，此時t＞4

2

PD=AP-AD=t-4

2

，
在RT△PDM中，PM=DPcos∠DPM=DP×

2

2

=

2

2

t-4，
此時S_△OPD=

1

2

OD×P_{縱坐標(biāo)}=

2

t-8（t＞4

2

）；

（3）存在符合題意的點N的坐標(biāo)．

①當(dāng)AB=AM時，在RT△MAH中，MH=AMcos∠MAH=AMcos∠ADO=2

10

，AH=2

10

，
故點M的坐標(biāo)為（-2

10

，4+2

10

），
又∵M(jìn)N平行且相等AB，
設(shè)點N坐標(biāo)為（x，y），則（x+0，y+4）=（-2

10

+8，4+2

10

+0）
∴x=8-2

10

，y=2

10

，
∴點N的坐標(biāo)為（8-2

10

，2

10

）．
②當(dāng)BM=AB時，

設(shè)點M坐標(biāo)為（x，-x+4），點N坐標(biāo)為（a，b），
∵四邊形ABMN是菱形，點A（0，4），點B（8，0），
∴（x+0，-x+4+4）=（a+8，b+0），
∴a=x-8，b=-x+8，即點N坐標(biāo)為（x-8，-x+8），
又∵BM=AB=4

5

，
∴

(x-8)2+(-x+4-0)2

=4

5

，
解得：x=12或x=0（與點A重合，舍去），
故此時點N的坐標(biāo)為（4，-4）；
③當(dāng)AB為對角線時，

設(shè)點M坐標(biāo)為（x，-x+4），則點N坐標(biāo)為（8-x，x），
∵此時AM=AN，
即可得：

(x-0)2+(-x+4-4)2

=

(8-x-0)2+(x-4)2

，
解得：x=

10

3

，
則此時點N的坐標(biāo)為（

14

3

，

10

3

）．
綜上可得符合題意的點N的坐標(biāo)為（8-2

10

，2

10

）或（4，-4）或（

14

3

，

10

3

）；

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及了菱形的性質(zhì)、兩點間的距離公式及解直角三角形的知識，難點在第三問，關(guān)鍵是先確定點M的位置，注意分類討論，不要漏解，難度較大．