Question

（2013•十堰模擬）如圖，直線AB與x軸、y軸分別交于點A和點B，且OA=OB=1．點P（a、b）是雙曲線y=

1

2x

上任意一點，過點P向x軸、y軸作垂線PM、PN，垂足是M、N，直線AB分別交PM、PN于點E、F．
（1）求點E、F的坐標（用a的代數式表示點E的坐標，用b的代數式表示點F的坐標，只須寫出結果，不要求寫出計算過程）；
（2）△AOF與△BOE是否相似？若相似，請給出證明；若不相似，請說明理由．
（3）當點P在雙曲線y=

1

2x

上移動時，∠EOF大小是否始終保持不變？若是，求∠EOF度數；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲求△OEF的面積，只要求出E、F坐標即可．根據矩形性質、直線AB解析式容易求出；
（2）根據題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對應成比例即可；
（3）應用三角形內角和定理及內外角關系可求∠EOF=45°是一定值，即解．

解答：解：（1）根據題意，易知：直線AB的解析式為y=-x+1，
點E的坐標是（a，1-a），點F的坐標是（1-b，b），

（2）△AOF和△BEO一定相似．
∵如圖1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵點P是函數y=

1

2x

圖象上任意一點，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a×

2

b=1即，AF•BE=OB•OA，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∵對圖2，圖3同理可證，
∴△AOF∽△BEO；

（3）當點P在曲線上移動時，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（2）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如圖1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
對圖2，圖3同理可證，
∴∠EOF=45°．

點評：此題難度中等，考查反比例函數的圖象和性質及相似三角形性質判定．同學們只有熟練掌握這些知識點，才能正確的解答．