Question

如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠B=30°）繞其直角頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α解（0°＜α＜90°），得到Rt△ADE，AD與BC相交于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN∥DE交AE于點(diǎn)N，連接NC．設(shè)BC=4，BM=x，△MNC的面積為S_△MNC，△ABC的面積為S_△ABC．
（1）求證：△MNC是直角三角形；
（2）試求用x表示S_△MNC的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）以點(diǎn)N為圓心，NC為半徑作⊙N，
①當(dāng)直線AD與⊙N相切時(shí)，試探求S_△MNC與S_△ABC之間的關(guān)系；
②當(dāng)S_△MNC=

1

4

S_△ABC時(shí)，試判斷直線AD與⊙N的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)和等量代換，易得△ABM∽△ACN，再由等量代換得到∠MCN=90°即可；
（2）由于△MNC是直角三角形，則有S_△MNC=

1

2

MN•CN，而MC=4-x，故利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例用含x的代數(shù)式表示出CN，就可求得S_△MNC的函數(shù)關(guān)系式．
（3）①當(dāng)直線AD與⊙N相切時(shí)，利用AN=NC，確定出CN的值后，用2中的S_△MNC的函數(shù)關(guān)系式，確定S_△MNC與S_△ABC之間的關(guān)系；②當(dāng)S_△MNC=

1

4

S_△ABC時(shí)，求得x的值，討論x取不同值時(shí)直線AD與⊙N的位置關(guān)系．

解答：解：（1）MN∥DE，∴

AM

AD

=

AN

AE

，
又∵AD=AB，AE=AC，∴

AM

AB

=

AN

AC

，
又∵∠BAM=∠CAN，∴△ABM∽△ACN，
∴∠B=∠NCA，∴∠NCA+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，
∴∠MCN=90°．即△MNC是直角三角形．

（2）在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=4，
∴AC=2，AB=2

3

，
∴△ABM∽△ACN，∴

BM

CN

=

AB

AC

，
∴CN=

MB．AC

AB

=

2x

2 3

=

3 x

3

，
∴S_△MNC=

1

2

CM•CN=

1

2

（4-x）•

3

3

x=

3

6

（4x-x²）（0＜x＜4）．

（3）①直線AD與⊙N相切時(shí)，則AN=NC，
∵△ABM∽△ACN，
∴

AM

AN

=

MB

NC

，∴AM=MB．
∵∠B=30°∴∠α=30°，∠AMC=60°．
又∵∠ACB=90°-30°=60°
∴△AMC是等邊三角形，有AM=MC=BM=

1

2

BC=2，即x=2．
S_△MNC=

3

6

（4x-x²）=

2 3

3

，∵S_△ABC=

1

2

AB•AC=2

3

，
∴S_△MNC=

1

3

S_△ABC．
②當(dāng)S_△MNC=

1

4

S_△ABC時(shí)
∴S_△MNC=

3

6

（4x-x²）=

1

4

•2

3

解得x=1或x=3．
（i）當(dāng)x=1時(shí)，
在Rt△MNC中，MC=4-x=3，∴MN=

NC2+MC2

=

2 21

3

∵

1

3

21

＞

1

3

3

，即AN＞NC，
∴直線AD與⊙相離．
（ii）當(dāng)x=3時(shí)，
同理可求出，NC=

3

，MC=1，MN=2，AN=1
∴NC＞AN
∴直線AD與⊙相交．

點(diǎn)評：本題利用了平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，直角三角形的性質(zhì)求解，運(yùn)用了分類討論的思想．