Question

如圖，將含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）繞其直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C與AB交于點D，過點D作DE∥A′B′交CB′于點E，連接BE．易知，在旋轉(zhuǎn)過程中，△BDE為直角三角形．設(shè)BC=1，AD=x，△BDE的面積為S．
（1）當(dāng)α=30°時，求x的值．
（2）求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）以點E為圓心，BE為半徑作⊙E，當(dāng)S=

1

4

S△ABC時，判斷⊙E與A′C的位置關(guān)系，并求相應(yīng)的tanα值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的判定，∠A=∠α=30°，得出x=1；
（2）由直角三角形的性質(zhì)，AB=2，AC=

3

，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求得△ADC∽△BCE，根據(jù)比例關(guān)系式，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)S=

1

4

S△ABC時，求得x的值，判斷⊙E和DE的長度大小，確定⊙E與A′C的位置關(guān)系，再求tanα值．

解答：解：（1）∵∠A=a=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BCD=60°．
∴AD=BD=BC=1．
∴x=1；

（2）∵∠DBE=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=∠CBE=30°．
∴AC=

3

BC=

3

，AB=2BC=2．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A′C，BC=B′C，
∠ACD=∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴

AD

BE

=

AC

BC

，
∴BE=

3

3

x．
∵BD=2-x，
∴s=

1

2

×

3

3

x（2-x）=-

3

6

x²+

3

3

x．（0＜x＜2）

（3）∵s=

1

4

s_△ABC
∴-

3

6

x2+

3

3

x=

3

8

，
∴4x²-8x+3=0，
∴x1=

1

2

，x2=

3

2

．
①當(dāng)x=

1

2

時，BD=2-

1

2

=

3

2

，BE=

3

3

×

1

2

=

3

6

．
∴DE=

BD2+BE2

=

1

3

21

．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC=∠A′=∠A=30°．
∴EC=

1

2

DE=

1

6

21

＞BE，
∴此時⊙E與A′C相離．
過D作DF⊥AC于F，則DF=

1

2

x=

1

4

，AF=

3

DF=

3

4

．
∴CF=

3

-

3

4

=

3

4

3

．
∴tanα=

DF

CF

=

3

9

．                                       （12分）
②當(dāng)x=

3

2

時，BD=2-

3

2

=

1

2

，BE=

3

2

．
∴DE=

BD2+BE2

=1，
∴EC=

1

2

DE=

1

2

＜BE，
∴此時⊙E與A'C相交．                                    
同理可求出tanα=

3 4

1 4 3

=

3

．

點評：本題考查的知識點：等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定以及直線與圓的位置關(guān)系的確定，是一道綜合性較強的題目，難度大．