Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=﹣ x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣4，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，4）．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）在x軸上有一點(diǎn)P，點(diǎn)P在直線AB的垂線段為PC，C為垂足，且PC= ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），將原拋物線向左平移，使平移后的拋物線過原點(diǎn)，與原拋物線交于點(diǎn)D，在平移后的拋物線上是否存在點(diǎn)E，使S△APE=S△ACD？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣ x2+bx+c過點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，4），

∴ ，解得： ，

∴所求拋物線的函數(shù)解析式是y=﹣ x2﹣x+4

（2）

解：∵A（﹣4，0），B（0，4），

∴OA=OB=4．

∵∠AOB=90°，

∴∠OAB=∠OBA=45°．

設(shè)PC⊥AB，則∠ACP=90°，PC= ．

Rt△ACP中，sin∠PAC= ，

∴PA= =2．

∴OP=OA﹣PA=2或OP=OA+AP=6．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P1（﹣2，0），P2（﹣6，0）

（3）

解：∵拋物線y=﹣ x2﹣x+4向左平移后過原點(diǎn)，

∴平移后的拋物線的函數(shù)解析式為y=﹣ x2﹣3x．

由﹣ x2﹣x+4=﹣ x2﹣3x．

解得 x=﹣2．

∴y=﹣ ×（﹣2）2﹣3×（﹣2）=4．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，4）．

如圖2，①當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，設(shè)P1C1⊥AB，過C1作C1N⊥x軸，垂足為N，

在Rt△AC1P1中，∵∠C1AP1=45°，AP1=2，

∴AC1=P1C1= ．

∴AN=NC1=1．

∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（﹣3，1）．

∴ = ﹣ ﹣ = ×2×4﹣ ×2×1﹣ ×4×1=4﹣1﹣2=1．

②當(dāng)點(diǎn)P在OA延長(zhǎng)線上時(shí)，同理可得點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（﹣5，﹣1）． =1，

設(shè)點(diǎn)E（a，b），當(dāng)S△APE=S△ACD時(shí)，有 ×2×|b|=1．即|﹣ a2﹣3a|=1．

∴﹣ a2﹣3a=1或﹣ a2﹣3a=﹣1．

∴a1=﹣3+ ，a2=﹣3﹣ ，a3=﹣3+ ，a4=﹣3﹣ ．

∴存在點(diǎn)E，使S△APE=S△ACD，點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（﹣3+ ，1）或（﹣3﹣ ，﹣1）或（﹣3+ ，﹣1）或（﹣3﹣ ，﹣1）

【解析】（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求得解析式；（2）由OA=OB=4知∠OAB=∠OBA=45°，根據(jù)sin∠PAC= 、PC= 可得PA的長(zhǎng)，從而由OP=OA﹣PA或OP=OA+AP得出答案；（3）由平移后的拋物線y=﹣ x2﹣3x得出D（﹣2，4），分點(diǎn)P在AO上和點(diǎn)P在OA延長(zhǎng)線上利用割補(bǔ)法求得△ACD的面積為1，設(shè)點(diǎn)E（a，b），根據(jù)S△APE=S△ACD得 ×2×|b|=1．即|﹣ a2﹣3a|=1，解方程即可得出答案．