Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC和BD是它的兩條切線，CO平分∠ACD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AC=2，BC=3，求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明見解析（2）2

（1）證明：過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD，垂足為E，

∵AC是切線，∴OA⊥AC。
∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO，
又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO（AAS）。∴OA=OE。
∴CD是⊙O的切線。
（2）解：過(guò)C點(diǎn)作CF⊥BD，垂足為F，

∵AC，CD，BD都是切線，∴AC=CE=2，BD=DE=3。
∴CD=CE+DE=5。
∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四邊形ABFC是矩形。
∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。
在Rt△CDF中，CF²=CD²﹣DF²=5²﹣1²=24，∴AB=CF=2。
（1）過(guò)O點(diǎn)作OE⊥CD于點(diǎn)E，通過(guò)角平分線的性質(zhì)得出OE=OA即可證得結(jié)論。
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，根據(jù)切線的性質(zhì)可得出DC的長(zhǎng)度，從而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的長(zhǎng)，可得出AB的長(zhǎng)度。