Question

已知：如圖，在直角梯形ABCD中，BC∥AD （AD＞BC），BC⊥AB，AB=8，BC=6．動點(diǎn)E、F分別在邊BC和AD上，且AF=2EC．線段EF與AC相交于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GH∥AD，交CD于點(diǎn)H，射線EH交AD的延長線于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)O，設(shè)EC=x．
（1）求證：AF=DM；
（2）當(dāng)EM⊥AC時，用含x的代數(shù)式表達(dá)AD的長；
（3）在（2）題條件下，若以MO為半徑的⊙M與以FD為半徑的⊙F相切，求x的值．

Answer 1

分析：（1）利用平行線分線段成比例的知識即可得出；
（2）易得

EC

AM

=

CO

AO

，故分別用含AD和x的代數(shù)式表示出EC、CO、AM和AO，代入即可得出含x的代數(shù)式表達(dá)的AD；
（3）結(jié)合題意可知，需要分兩種情況來解，一種是外切，另一種是內(nèi)切；分別根據(jù)切線的性質(zhì)，結(jié)合題目，列出方程即可得出x的值．

解答：（1）證明：∵BC∥AD，
∴

EC

AF

=

CG

AG

，

EC

DM

=

CH

DH

，（2分）
∵GH∥AD，

CG

AG

=

CH

DH

，（1分）
∴

EC

AF

=

EC

DM

，
∴AF=DM．（1分）

（2）解：∵AB⊥BC，AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵BC⊥AB，EM⊥AC，
∴cos∠ACB=

BC

AC

=

CO

EC

，（1分）
∵EC=x，
∴

6

10

=

CO

x

，
∴CO=

3

5

x，（1分）
∵AF=2EC，由（1）知AF=DM，
∴DM=2EC，
∴DM=2x，
∵EC∥AM，
∴

EC

AM

=

CO

AO

，（1分）
∴

x

AD+2x

=

3 5 x

10- 3 5 x

，
∴AD=

50-9x

3

．（1分）

（3）解：∵EM⊥AC，設(shè)AD=a，
∴FD=a-2x，MO=

4

5

(a+2x)，（1分）
FM=FD+DM=FD+AF=AD=a，
當(dāng)⊙F與⊙M相外切時，F(xiàn)D+MO=FM；
a-2x+

4

5

(a+2x)=a，
解得x=

100

21

，（1分）
∵AD＞BC，即a＞6，
由x=

100

21

，得a=

50

21

＜6，與已知不符，
∴x=

100

21

（舍）；（1分）
當(dāng)⊙F與⊙M相內(nèi)切時，|FD-MO|=FM，
①a-2x-

4

5

(a+2x)=a，無解；（1分）
②

4

5

(a+2x)-(a-2x)=a，
解，得x=

25

9

，a=

25

3

，
∵2x＜a，a＞6，
∴x=

25

9

．（2分）
綜上所述，滿足條件的x的值為

25

9

．

點(diǎn)評：本題主要考查了切線的性質(zhì)以及平行線成比例的知識和解直角三角形等知識，并且要結(jié)合實(shí)際情況對題目分情況討論和對解的值進(jìn)行合理的取舍，本題具有一定的難度，請同學(xué)們多加分析和理解．