Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線是由拋物線y=x2﹣3向右平移一個(gè)單位后

得到的，它與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在該拋物線上，且橫坐標(biāo)為3．

（1）求點(diǎn)M、A、B坐標(biāo)；

（2）連結(jié)AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；

（3）點(diǎn)P是頂點(diǎn)為M的拋物線上一點(diǎn)，且位于對(duì)稱軸的右側(cè)，設(shè)PO與x正半軸的夾角為α，當(dāng)α=∠ABM時(shí)，求P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)函數(shù)平移的規(guī)律可得平移后的拋物線解析式是y=（x-1）2-3，所以頂點(diǎn)M的坐標(biāo)（1，-3），把x=0， x=3分別代入y=（x-1）2-3可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)（0，-2）和點(diǎn)B的坐標(biāo)（3,1）；

（2）過點(diǎn)B作BE⊥AO于E，過點(diǎn)M作MF⊥AO于M，根據(jù)EB=EA=3得∠EAB=∠EBA=45°，同理求出∠FAM=∠FMA=45°，然后根據(jù)△ABE∽△AMF求出即可；（3）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，分兩種情況討論：點(diǎn)P在x軸的上方和下方.

試題解析：（1）拋物線y=x2-3向右平移一個(gè)單位后得到的函數(shù)解析式為y=（x-1）2-3，

頂點(diǎn)M（1，-3），

令x=0，則y=（0-1）2-3=-2，

點(diǎn)A（0，-2），

x=3時(shí)，y=（3-1）2-3=4-3=1，

點(diǎn)B（3，1）；

（2）過點(diǎn)B作BE⊥AO于E，過點(diǎn)M作MF⊥AO于M，

∵EB=EA=3，

∴∠EAB=∠EBA=45°，

同理可求∠FAM=∠FMA=45°，

∴△ABE∽△AMF，

∴==，

又∵∠BAM=180°-45°×2=90°，

∴tan∠ABM==；

（3）過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H，

∵y=（x-1）2-3=x2-2x-2，

∴設(shè)點(diǎn)P（x，x2-2x-2），

①點(diǎn)P在x軸的上方時(shí)，=，

整理得，3x2-7x-6=0，

解得x1=-（舍去），x2=3，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）；

②點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，=，

整理得，3x2-5x-6=0，

解得x1=（舍去），x2=，

x=時(shí)，x2-2x-2=-×=-，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，1）或（，-）．

考點(diǎn)：1.二次函數(shù)圖象的平移；2.求拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；3.相似三角形的判定與性質(zhì)；4.銳角三角形函數(shù).