Question

【題目】如圖，矩形紙片ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E在邊CD上移動連接AE，將多邊形ABCE沿直線AE翻折，得到多邊形AB′CE，點(diǎn)B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B′、C′

(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，設(shè)B′C′與AD的交點(diǎn)為F，若AD＝4DF，則AD＝______

(2)若AD＝6，B′C′的中點(diǎn)記為P，則DP的取值范圍是______

Answer 1

【答案】4 1≤DP≤5．

【解析】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，易知△AB'C≌△DCA，得到AF=CF，設(shè)DF＝x，則AD＝4x，得AF＝CF＝AD＝DF＝3x，Rt△CDF中利用勾股定理解出x，然后得到AD＝4x即可 （2）如圖2，點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，AP的長為半徑的圓上的一段弧，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)DP的值最大，易得B'P＝C'P6＝3，B'A＝C'D＝4，則AP=DP=5；當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，即在點(diǎn)P'處時(shí)，DP的值最小此時(shí)，AP＝AP'＝5，得DP'＝AD﹣AP'＝6﹣5＝1，所以DP的最小值為1，

解：∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB＝CD＝4，AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，

由翻折知，△AB'C≌△DCA，

∴∠ACB'＝∠ACB，

∴∠DAC＝∠ACB'，

∴AF＝CF，

設(shè)DF＝x，則AD＝4x，

∴AF＝CF＝AD＝DF＝3x，

在Rt△CDF中，CF2＝DF2+CD2，

∴(3x)2＝x2+42，

解得，x1(舍去)，x2，

∴AD＝4x＝4，

故答案為：4；

(2)如圖2，點(diǎn)P的軌跡是以A為圓心，AP的長為半徑的圓上的一段弧，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)D重合時(shí)DP的值最大，

∵點(diǎn)P是B'C'的中點(diǎn)，

∴B'P＝C'P6＝3，B'A＝C'D＝4，

∴AP＝DP5，

∴DP的最大值為5，

由圖可看出，當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，即在點(diǎn)P'處時(shí)，DP的值最小，

此時(shí)，AP＝AP'＝5，

∴DP'＝AD﹣AP'＝6﹣5＝1，

∴DP的最小值為1，

故答案為：1≤DP≤5．