Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A（﹣8，3），B（﹣4，0），C（﹣4，3），∠ABC=α°．拋物線y= x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)C，且對稱軸為x=﹣ ，并與y軸交于點(diǎn)G．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）將Rt△ABC沿x軸向右平移m個(gè)單位，使B點(diǎn)移到點(diǎn)E，然后將三角形繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°得到△DEF．若點(diǎn)F恰好落在拋物線上．
①求m的值；
②連接CG交x軸于點(diǎn)H，連接FG，過B作BP∥FG，交CG于點(diǎn)P，求證：PH=GH．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意得：

解得：

∴拋物線的解析式為：y= x2+ x- ，點(diǎn)G（0，﹣ ）

（2）

解：①過F作FM⊥y軸，交DE于M，交y軸于N，

由題意可知：AC=4，BC=3，則AB=5，F(xiàn)M= ，

∵Rt△ABC沿x軸向右平移m個(gè)單位，使B點(diǎn)移到點(diǎn)E，

∴E（﹣4+m，0），OE=MN=4﹣m，F(xiàn)N= ﹣（4﹣m）=m﹣ ，

在Rt△FME中，由勾股定理得：EM= = ，

∴F（m﹣ ， ），

∵F拋物線上，

∴ = （m﹣ ）2+ （m﹣ ）﹣ ，

5m2﹣8m﹣36=0，

m1=﹣2（舍）， ；

②易求得FG的解析式為：y= x﹣ ，

CG解析式為：y=﹣ x﹣ ，

∴ x﹣ =0，x=1，則Q（1，0），

﹣ x﹣ =0，x=﹣1.5，則H（﹣1.5，0），

∴BH=4﹣1.5=2.5，HQ=1.5+1=2.5，

∴BH=QH，

∵BP∥FG，

∴∠PBH=∠GQH，∠BPH=∠QGH，

∴△BPH≌△QGH，

∴PH=GH．

【解析】（1）把點(diǎn)C坐標(biāo)代入y= x2+bx+c得一方程，利用對稱軸公式得另一方程，組成方程組求出解析式，并求出G點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）①作輔助線，構(gòu)建直角△DEF斜邊上的高FM，利用直角三角形的面積相等和勾股定理可表示F的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)F在拋物線上，列方程求出m的值；②F點(diǎn)和G點(diǎn)坐標(biāo)已知，可以求出直線FG的方程，那么FG和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（設(shè)為Q）可以知道，C點(diǎn)坐標(biāo)已知，CG的方程也可以求出，那么H點(diǎn)坐標(biāo)可以求出，可以證明△BPH和△MGH全等．本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)、一次函數(shù)）的解析式，利用解析式求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，利用面積法求斜邊上的高及三角形全等的性質(zhì)等；綜合性較強(qiáng)，但難度不大，是一道不錯(cuò)的中考壓軸題．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和全等三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；全等三角形的對應(yīng)邊相等; 全等三角形的對應(yīng)角相等才能正確解答此題．