Question

如圖1，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°。
（1）求∠AOC的度數(shù)；
（2）在圖1中，P為直徑BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，當(dāng)CP與⊙O相切時(shí)，求PO的長(zhǎng)；
（3）如圖2，一動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，在⊙O上按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，當(dāng)S_△MAO=S_△CAO時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）∵在△ACO中，∠OAC=60°，OC=OA
∴△ACO是等邊三角形
∴∠AOC=60°
（2）∵CP與⊙O相切，OC是半徑
∴CP⊥OC
∴∠P=90°-∠AOC=30°
∴PO=2CO=8；
（3）如圖，
①作點(diǎn)C關(guān)于直徑AB的對(duì)稱點(diǎn)M₁，連接AM₁，OM₁
易得，∠AOM₁=60°
∴×60°=，
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M₁時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為， 
②過(guò)點(diǎn)M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于點(diǎn)M₂，連接AM₂，OM₂，
易得=S_△CAO
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴或
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M₂時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為，
③過(guò)點(diǎn)C作CM₃∥AB交⊙O于點(diǎn)M₃，連接AM₃，OM₃，
易得=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴或
∴當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M3時(shí)，S_△MAO=S_△CAO，此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為， 
④當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，M與C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此時(shí)點(diǎn)M經(jīng)過(guò)的弧長(zhǎng)為或。