Question

【題目】 己知拋物線向右平移2個單位，再向下平移3個單位后恰好經過點．

（1）求平移后拋物線的解析式；

（2）點A在平移后物線上，點A在該拋物線對稱軸的右側，將點A繞著原點逆時針旋轉90°得到點B，設點A的橫坐標為t；

①用t表示點B的坐標；

②若直線，且與平移后拋物線只有一個交點C，當點到直線AC距離取得最大值時，此時直線AC解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①，②

【解析】

（1）根據二次函數平移性質“左加右減，上加下減”求出解析式；

（2）①根據旋轉性質和全等三角形的判定證出，即可求出B的坐標；

②利用待定系數法求出的解析式，發(fā)現恒過頂點F，根據垂線段最短即可求出當點到直線AC距離取得最大值時，，從而求出AC的解析式．

解（1）∵拋物線向右平移2個單位，再向下平移3個單位，平移后拋物線解析式為

∴將代入得．

∴

（2）①如下圖所示，過點A作AG⊥x軸于G，過點B作BH⊥x軸于H

點A坐標為，故

根據旋轉可得．

故．

又．

∴

∴

∴點

②連接DF

令直線的解析式為，則．

∴即

因為直線，故可以設直線l：

聯立：，得．

因為直線l與拋物線只有一個交點

∴即

所以直線

聯立方程為：．

解得：，故點C縱坐標為

即點．

令直線，代入兩點坐標得：

解得：

即

顯然直線恒過定點F，令點D到的距離為d，則．

所以，此時．

由于，

∴直線與x軸的夾角呈45°，

∴直線解析式為：